Seja y = f ( x ) definida implicitamente pela equação x 2 - x x y + 2 y 2 = 10 . Encontre o coeficiente angular da reta normal ao gráfico da função f no ponto ( 4 ,   1 ) .

Passo 1

Faaaala meu consagrado/minha consagrada!!! Beleza??

Olha.. para a gente determinar o coeficiente angular da reta normal no ponto ( 4,1 ) , devemos encontrar primeiramente o coeficiente angular da tangente nesse ponto.

Ou seeeja, primeiramente desejamos determinar a derivada y ' no ponto dado.

Nesse caso, a derivação implícita é dada a seguir:

d d x x 2 - d d x x x y + d d x 2 y 2 = d d x 10 ∴

2 x - x y + x y + x y ' 2 x y + 4 y y ' = 0

Passo 2

Dessa forma, isolando y ' , temos:

2 x - x y - x y + x y ' 2 x y + 4 y y ' = 0 ∴

2 x - x y - x y 2 x y - x 2 y ' 2 x y + 4 y y ' = 0 ∴

2 x - x y - x y 2 - x y ' x y 2 y + 4 y y ' = 0 ∴

4 y y ' - x y ' x y 2 y = 3 x y 2 - 2 x ∴

Dividindo por x 2 y , temos:

8 y y ' - x y ' x y = 3 y x y - 4 x y ∴

y ' = 3 y x y - 4 x y 8 y - x x y

Passo 3

Por definição, se o coeficiente da reta tangente é m , então a tangente da reta normal é - 1 m .

Logo, sendo n o coeficiente da reta normal, temos:

n = 1 y ' ∴

n = - 1 3 y x y - 4 x y 8 y - x x y ∴

n = x x y - 8 y 3 y x y - 4 x y

Passo 4

Assim, fazendo x = 4 e y = 1 , temos:

n = 4 4 ∙ 1 - 8 ∙ 1 3 ∙ 1 4 ∙ 1 - 4 ∙ 4 ∙ 1 ∴

n = 0 - 10 ∴

n = 0

Um bocadinho de algebrismo, mas devagarinho vamos dando certo ;)

Resposta

n = 0

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