Uma pipa, situada 120   m acima do solo, move-se horizontalmente a 10   m / s . Sabendo que a linha se encontra esticada, determine a taxa de variação do ângulo que essa linha faz com a horizontal no instante em que o comprimento da mesma for de 240   m .

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a variação do ângulo θ em relação ao tempo, que a linha da pipa faz com a horizontal. Nós sabemos que a pipa está a 120   m acima do solo e que se move com uma velocidade d x d t = 10   m / s . E precisamos encontrar d θ d t quando o comprimento da linha h for igual a 240   m .

Então, vamos usar as relações trigonométricas do triângulo para encontra uma expressão para o ângulo θ , derivar essa expressão e encontrar nossa taxa d θ d t .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar usando a tangente do ângulo para escrever a relação entre os catetos x e 120   m :

tan ⁡ θ = 120 x

Derivando ambos os lados implicitamente em função do tempo t , temos:

d d t tan ⁡ θ = d d t 120 x

sec 2 ⁡ θ d θ d t   = - 120 x 2 d x d t

Isolando d θ d t :

d θ d t = - 120 x 2 sec 2 ⁡ θ d x d t

Passo 3

Agora vamos usar o teorema de Pitágoras no triângulo do passo 1 e escrever:

h 2 = x 2 + 120 2

Como h = 240   m , temos:

240 2 = x 2 + 120 2

x 2 = 57600 - 14400 = 43200

Fatorando, encontramos:

x = 120 3   m

Passo 4

Agora vamos encontrar o valor da secante ao quadrado do ângulo, usando a identidade trigonométrica sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ :

sec 2 ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ 2

Usando as dimensões do triângulo e os valores que encontramos, temos:

sec 2 ⁡ θ = 1 x h 2 = 1 120 3 240 2 = 1 3 2 2

= 2 3 2 = 4 3

Passo 5

Então, substituindo d x d t = 10   m / s , sec 2 ⁡ θ = 4 3 e x = 120 3   m na derivada do ângulo, temos:

d θ d t = - 120 x 2 sec 2 ⁡ θ d x d t

d θ d t = - 120 ∙ 10 120 3 2 ∙ 4 3 = - 1200 14400 ∙ 3 ∙ 4 3 = - 1200 57600

Simplificando:

d θ d t = - 1 48   r a d / s

Isso quer dizer que nosso ângulo varia a uma taxa de - 1 48   r a d / s .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

d θ d t = - 1 48   r a d / s

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