Os comprimentos dos lados de um retângulo variam com o tempo. Sabe-se que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado.

  1. Se a taxa de variação da área é 3 c m 2 / s , qual a taxa de variação do menor lado?
  2. Se o comprimento da diagonal cresce a 1   cm/s , qual a taxa de variação do menor lado?

Dados para (a) e (b): no instante em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm.

Passo 1

Oi! Tudo bem por aí? O que a gente tem nessa questão é o que tá mostrado nessa figura:

Temos um retângulo, mas as suas duas dimensões variam com o tempo. Como eu desenhei o maior lado do nosso retângulo como sendo x e nós temos a informação do enunciado de que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado, temos:

x ' t = 2 y ' t

Além disso, temos também uma informação acerca da diagonal. Pelo Teorema de Pitágoras, podemos escrever a diagonal do nosso retângulo em função das nossas variáveis x e y como:

d t = x t 2 + y t 2

Sendo assim, como do enunciado a taxa de variação da diagonal é de 1   cm/s , aplicando a Regra da Cadeia, obtemos:

d ' t = x t 2 + y t 2 1 / 2 ' = 1 2 [ ( x ( t ) ) 2 + ( y ( t ) ) 2 ] - 1 / 2 ⋅ 2 x t x ' t + 2 y t y ' t = 2 x t x ' t + 2 y t y ' t 2 x t 2 + y t 2

Agora, Substituindo a relação entre x ' t e y ' t , temos:

d ' t = 2 x t 2 y ' t + 2 y t y ' t 2 x t 2 + y t 2 = y ' t 4 x t + 2 y t 2 x t 2 + y t 2

Passo 2

Show! Aplicando as informações do enunciado, conseguimos uma expressão para a taxa de variação da diagonal, que sabemos valer 1   cm/s . Para concluir, vamos agora utilizar a única outra informação que não usamos ainda, a de que existe um instante t 1   em que o maior lado mede 5cm e o menor mede 3cm. Substituindo tudo em d ' t , temos:

1 = y ' 4 ∙ 5 + 2 ∙ 3 2 5 2 + 3 2 → y ' = 34 13   c m / s

Terminamos! Vamos pra próxima?

Resposta

( a )   y ' = 34 13   c m / s

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