Um reservatório cônico de 20   m de profundidade e 10   m de diâmetro está recebendo água na razão de 1   m 3 / m i n . Determine:

b) A taxa de variação da área da superfície da água quando esta estiver a 8   m ;

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a taxa de variação da área da superfície da água em relação ao tempo, ou seja, d A d t .

Nós sabemos que o reservatório cônico tem um raio r = 5   m , que é metade do diâmetro ( d = 10   m ) e nós calculamos no item ( a ) uma variação de altura do nível da água, que foi d h d t = 4 9 π   m / m i n .

Vamos esboçar o cone pra entender melhor:

Então, para encontrar d A d t , vamos relacionar a altura e o raio do cone através das dimensões da figura e utilizar a expressão da área da circunferência, que é equivalente a área da superfície da água:

A = π r 2

Em seguida, vamos derivar essa equação e substituir os dados do enunciado para encontrar a nossa taxa.

Vamos lá!

Passo 2

Olhando a figura do passo 1 , nós conseguimos relacionar o raio e a altura através da equação:

r h = 5 20

Isolando r , temos:

r = 5 h 20 → r = h 4

Substituindo esse valor de r na expressão da área superficial A , vamos ter:

A = π r 2

A = π h 4 2 = π h 2 16

Passo 3

Agora vamos derivar cada lado da equação da área em relação a t :

d A d t = π 16 2 h d h d t

d A d t = π h 8 d h d t

Como temos d h d t = 4 9 π   m / m i n , quando a água estiver a 8   m ( h = 8   m ), vamos ter:

d A d t = π 8 ∙ ( 8 ) ∙ 4 9 π

d A d t = 4 9   m 2 / m i n

Isso significa que a área da superfíe da água vai aumentando a uma taxa de 4 9   m 2 / m i n ≈ 0 , 44   m 2 / m i n .

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

0 , 4 4   m / m i n

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