Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

UFRJ, Cálculo 1, P1 - 2018.2, Questão Q05

5) Um caminhão despeja cimento sobre o solo, que se acumula em um monte da forma de um cone, cuja altura é igual ao raio da base. Se o volume de cimento aumenta a uma taxa de 10   m 3 / s , a que razão aumenta a área da base do monte formado pelo cimento, quando sua altura é de 4 m ?

Passo 1

A primeira coisa que devemos fazer em questões de taxas relacionadas como essas é prestar bastante atenção na geometria:

O cone grande é o formato final após todo o cimento ser despejado. Enquanto ele não chega em seu formato final, ele tem forma de um cone menor. Portanto o volume do cone de cimento pode ser descrito como:

V C i m e n t o = A b a s e ∙ A l t u r a 3

Substituindo então temos:

V C = π r 2 ∙ r 3 = π r 3 3

Oras, o enunciado da pra gente a taxa com a qual o volume aumenta. Se a taxa é a variação com o tempo, então derivando em relação ao tempo, temos:

V C ' = 3 π r 2 r ' 3 = π r 2 r '

Substituindo a variação do volume pela taxa que conhecemos do enunciado de 10   m 3 / s . Ficamos com:

10 = π r 2 r '

Tem outro dado que conhecemos também do enunciado: o valor da altura no instante desejado. Como a altura é igual ao raio, do enunciado:

10 = π 4 2 r '

10 = 16 π r '

r ' = 10 1 6 π

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Ok, a princípio, ainda não chegamos a lugar nenhum. Afinal, a questão pede a taxa com a qual a área da base do monte formado pelo cimento aumenta. Como essa área é a área de um círculo, a fórmula dela a gente tira de letra:

A b a s e = π r 2

Como quero taxa de variação, basta derivar em relação ao tempo, beleza? Ficamos com:

A b a s e ' = 2 π r r '

Opa, então o resultado do passo 1 não foi a toa né? Não mesmo meus caros. Afinal, mesmo que a gente substitua r = h = 4 como fizemos antes, sem saber r ' não ia ter como responder A b a s e ' . Já que sabemos tudo, bora substituir então:

A b a s e ' = 2 ∙ π ∙ 4 ∙ 10 16 π

A b a s e ' = 8 0 π 16 π

A b a s e ' = 5   m 2 / s

Resposta

A b a s e ' = 5   m 2 / s

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