Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

USP, Cálculo 1, P1 - 2019, Questão ME12

Um farol, situado a uma distância de 120 m de uma muralha, completa 3 voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a 150 m do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de:

  1. 150 π   m / m i n
  2. 1125 π   m / m i n
  3. 375 π   m / m i n
  4. 750 π   m / m i n
  5. 900 π   m / m i n

Passo 1

Olha, essa figura ajuda a entender. Mas essa aqui em baixo é um espetáculo, saca só:

Esses nomes a mais vão ajudar a gente. Como o farol gira, tanto o ângulo quanto a base desse triângulo variam com o tempo. O que a questão pede na real é o quão rápido essa base aumenta ou diminui! Da trigonometria, temos que:

tan ⁡ θ t = x t 120

x t = 120   tan ⁡ θ t

Como queremos a taxa de variação no tempo desse x t , derivando d d t temos:

x ' t = 120   sec 2 ⁡ θ t ∙ θ ' t

E como o farol está girando em uma velocidade constante de 3 voltas ( 6 π ) por minuto:

x ' t = 72 0 π   sec 2 ⁡ θ t

Show, mas olha só, a questão diz que em um determinado instante um ponto a 150 m do farol esta sendo iluminado. Representando esse instante então por t 0 , temos:

x ' t 0 = 72 0 π   sec 2 ⁡ θ t 0

Vai faltar a gente achar então o ângulo nesse instante. Achando ele, encontramos a velocidade em que o ponto de luz varre a muralha nesse mesmo instante ( x ' t 0 ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Mesmo pareça doido obter informações de um instante específico, pensa aqui comigo: ué, esse instante não é exatamente o da foto? Certíssimo meus caros. E na imagem, olhando pelo triângulo, temos:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 120 150 = 150 120

Sendo assim:

sec 2 ⁡ θ t 0 = 150 120 2 = 150 120 150 120 = 15 12 15 12 = 5 4 5 4 = 25 16

E a velocidade vai ser:

x ' t 0 = 72 0 π   sec 2 ⁡ θ t 0

x ' t 0 = 72 0 π   25 16

x ' t 0 = 1125 π  

A resposta é a Letra B

Resposta

L e t r a   B

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