No estudo de ecossistemas, o modelo predador-presa é muitas vezes usado para estudar a interação entre espécies. Seja T ( t ) o número de tigres de uma região no instante de tempo t (medido em anos) e seja A ( t ) o número de antílopes na mesma região no instante t . A interação entre essas duas espécies é modelada pelas equações

A ' t = a A t - b A t T ( t ) e T ' t = - c T t + d A t T ( t ) ,

Em que a ,   b ,   c e d são constantes.

  1. Como caracterizar matematicamente a afirmação de que o número de indivíduos das duas espécies é constante ao longo do tempo?
  2. Como caracterizar matematicamente a extinção dos antílopes?
  3. Considere a   =   0,05 ,   b   =   0,001 ,   c   =   0,05   e   d   =   0,0001 . Sabendo que as espécies estão convivendo em equilíbrio (isto é, o número de indivíduos é constante ao longo do tempo) e que não estão extintas, determine o número de indivíduos de cada espécie.

Passo 1

Eaeeee, belezinha??? Quem diria que teria derivadas em biologia ne? Haha

Mas seguinte, vamos começar aqui pela letra (a)...

Concorda que se o número de espécies é constante ao longo do tempo, podemos representar matematicamente como A t = k 1 e T t = k 2 , né?

Oooou, se derivarmos, podemos dizer que A ' t = T ' t = 0 (a variação de ambas as espécies no tempo é nula).

Passo 2

Na letra (b), se os antílopes forem extintos, matematicamente podemos dizer que A t = 0 .

Ou seeeja, matematicamente o número de antílopes é zero independente do tempo t .

Passo 3

Já na letra (c), como o número de indivíduos é constante e não nulo, obtemos os seguintes resultados a partir das equações:

A ' t = a A t - b A t ∙ T t ∴

0 = 0,05 A - 0,001 A T ∴

T = 50   t i g r e s

E, por outro lado:

T ' t = - e T t + d A t T t ∴

0 = - 0,05 T + 0,0001 A T ∴

A = 500   a n t í l o p e s

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

  1. A ' t = T ' t = 0 (a variação de ambas as espécies no tempo é nula).
  2. A t = 0
  3. T = 50   t i g r e s ; A = 500   a n t í l o p e s

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