Os comprimentos dos lados de um retângulo variam com o tempo. Sabe-se que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado.

  1. Se a taxa de variação da área é 3   c m 2 / s , qual a taxa de variação do menor lado?
  2. Se o comprimento da diagonal cresce a 1   cm/s , qual a taxa de variação do menor lado?

Dados para (a) e (b): no instante em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm.

Passo 1

Fala aí! Tudo bom? O que nós temos na nossa questão é o que tá mostrado na figura abaixo:

Temos um retângulo, mas as suas duas dimensões são funções do tempo! Ou seja, vão variando. Como eu desenhei o maior lado do nosso retângulo como sendo x e nós temos a informação do enunciado de que a taxa de variação do maior lado é o dobro da taxa de variação do menor lado, temos:

x ' t = 2 y ' t

Se escrevermos a área do nosso retângulo em função das nossas variáveis x e y , temos:

A ( t ) = x t ⋅ y t

Então, como temos também do enunciado que a taxa de variação da área é 3   c m 2 / s , aplicando a Regra do Produto e substituindo a relação entre x ' t e y ' t , obtemos:

A ' t = x ' t y t + x t y ' t = 2 y ' t y t + x t y ' t = y ' t 2 y t + x t

Passo 2

Beleza! Aplicando as informações do enunciado, conseguimos uma expressão para a taxa de variação da área, que sabemos valer 3   c m 2 / s . Por fim, vamos agora utilizar a única outra informação que não usamos ainda, a de que existe um instante t 1   em que o maior lado mede 5cm, o menor mede 3cm. Substituindo tudo em A ' t , temos:

3 = y ' 2 ⋅ 3 + 5 → y ' = 3 11   c m / s

Curtiu? Bora pra próxima questão!

Resposta

( a )   y ' = 3 11   c m / s

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