Questão 1.4 - Um recipiente em formato cônico é construído com altura fixa de 60   c m . A circunferência da base mede 62,80   c m com um possível erro de 0,1   c m . Dê uma estimativa para o erro no cálculo do volume da peça (use nas contas a aproximação π ≈ 3,14 ).

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Temos que construir um cone de altura 60 c m e 62,80 c m de circunferência na parte mais grossa. Por algum motivo o equipamento que usamos para medir essa circunferência possui um erro de 0,1 c m .

Esse erro é o suficiente para modificar o volume do nosso cone e nosso objetivo é justamente encontrar essa variação do volume dado essa estimativa de erro.

Tem alguma ideia do que fazer? 👀

Lembra como é a fórmula do volume do cone?

V = π r 2 h 3

E a fórmula do comprimento da circunferência?

C = 2 π r

A informação que nos deram foi da circunferência, portanto temos que dar um jeito de introduzis C em V .

A partir daí podemos calcular d V derivando a funções que vamos obter para calcular a variação.

Entendeu? Bora lá! 😁

Passo 2

r é o raio da base do cone e h é a altura.

A altura h foi dada e é 60 c m , já r vamos substituir.

Em uma fração, podemos fazer muitas coisas desde que fazemos no numerador e no denominador.

multiplicando em cima e em baixo por π em V , temos

V = π 2 r 2 h 3 π

Agora fazendo o mesmo com 2 2 ...

V = 2 2 π 2 r 2 h 3 π 2 2

Como a 2 b 2 c 2 = a b c 2 , temos

V = 2 π r 2 h 3 π 4

Mas pera aí! 2 π r não é C ? Ou seja

V = C 2 h 12 π

Substituindo h por 60 e simplificando a equação...

V = 60 C 2 12 π = 5 C 2 π

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 3

Agora o que queremos saber é a variação de volume d V , dado uma variação na circunferência d C .

O que falta é algo que nos dê uma taxa de variação do volume.

Como podemos encontrar esse algo? 🤔

A derivada de uma função, nos dá a tangência de uma função, não é? Essa tangência pode ser interpretada como uma variação dessa função, concorda?

Então, o que temos é que

d V = V ' d C

Onde d V é a variação do volume que estamos procurando, V ' é a taxa de variação de V e d C é a variação da circunferência que foi dada no enunciado.

Derivando V com relação a C para obter V ' , temos

V ' = d 5 C 2 π d C

Pelo método de derivação polinomial, vemos que V ' resulta em

V ' = 2 · 5 C 2 - 1 π = 10 C π

Dessa forma, d V é dado por

d V = 10 C π d C

C foi dado no enunciado como 62,80 c m , já d C foi dado como 0,1 c m . Fazendo essas substituições...

d V = 10 62,80 π 0,1

d V = 62,80 π = 19,98 c m 3

Portanto, vemos que a diferença de volume a partir do erro de medição é de aproximadamente 20 c m 3 !

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

d V ≈ 20 c m 3

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