Num determinado instante, um controlador de tráfego aéreo vê dois aviões na mesma altura voando a velocidades constantes, em trajetórias ortogonais que se cruzam num ponto P como descrito na figura ao lado. Neste instante, um dos aviões está a 150 milhas do ponto P e se aproxima de P a 450 milhas por hora, enquanto o outro está a 200 milhas do ponto P e se movendo a 600 milhas por hora, também em direção ao ponto P.

  1. Antes do ponto P, a distância entre os aviões está diminuindo? A que taxa?
  2. Os aviões correm risco de choque? Em caso afirmativo, quanto tempo o controlador tem para fazer com que um avião mude a sua trajetória?

Passo 1

  1. A distância entre os aviões é a reta que liga os dois aviões formando um triangulo retângulo como abaixo

Essa distância está diminuindo conforme os aviões se aproximam de P. A taxa com que essa distância diminui é o que queremos encontrar. Para isso, temos que encontrar uma relação entre as variáveis envolvidas, que são as distâncias d 1 e d 2 de cada avião ao ponto P e d de um avião ao outro. Assim,

d 1 2 + d 2 2 = d 2

Passo 2

Derivando implicitamente a equação acima temos:

2 d × d ' = 2 d 1 × d 1 ' + 2 d 2 × d 2 '

d ' = 2 d 1 × d 1 ' + 2 d 2 × d 2 ' 2 d

As distâncias d1 e d2 foram dadas no enunciado sendo 150 milhas e 200 milhas, respectivamente.

Logo,

d = 150 2 + 200 2 = 250   m i l h a s

Agora falta acharmos d1’ e d2’, mas veja só, essas não são as taxas das variações da distância em relação ao tempo de cada avião? E isso foi dado pelo enunciado.

d 1 ' = 450   m i / h

d 2 ' = 600   m i / h

Passo 3

Agora é só substituir e ser feliz!

d ' = 2 150 × 450 + 2 ( 200 × 600 ) 2 ( 250 ) = 750   m i / h

Passo 4

(b) A equação que descreve a trajetória de cada avião é

s = s 0 + v t

Para o avião 1 isso pode ser escrito como sendo:

d 1 = 150 + 450 t

Para o avião 2:

d 2 = 200 + 600 t

Quando d 1 = d 2 a gente vai ter colisão, então se igualarmos as duas equações poderemos verificar o seguinte:

150 + 450 t = 200 + 600 t

150 t = - 50

O sinal negativo pode ser ignorado, porque ele está só indicando o sentindo negativo da posição:

t = 1 3 h = 20   m i n

Resposta

a )   D i m i n u i n d o   à   750   m i / h

b )   S i m .   20   m i n

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