8. Uma partícula se desloca ao longo da parábola y = x 2 no primeiro quadrante de modo que sua coordenada x (medida em metro) aumente a uma velocidade constante de 10   m / s . Qual é a derivada em relação ao tempo do ângulo de inclinação θ da reta que liga a partícula à origem quando x = 3   m .

Passo 1

Oi, galerinha! Tudo bom? Aqui nós temos um probleminha de taxa relacionada!

Nós temos um ponto que se mexe ao longo da parábola y = x 2 a uma velocidade de 10   m / s (na coordenada x ). Agora vamos escolher um ponto qualquer dessa parábola e liga-lo até a origem, formando assim um trigângulo.

Repara que desenhando o que problema descreve temos uma triangulo retângulo. Então vamos usar essa informação para fazer as correlações.

Bora lá!

Passo 2

A gente começa estabelecendo uma relação entre os lados do triângulo. Como temos um triângulo retângulo, vamos usar o Teorema de Pitagoras.

h i p o t e n u s a 2 = c a t e t o   1 2 + c a t e t o   2 2

Mas repara que essa relação não nos dá um ângulo, por isso vamos usar a definicação de tangente.

tan ⁡ θ = c a t e t o     o p o s t o c a t e t o   a d j a c e n t e = y x

Onde y é altura e x é a distância horizontal.

Mas ainda temos a variável y e só queremos trabalhar com x e θ . Então temos que lembrar que y = x 2 e substituir.

tan ⁡ θ = x 2 x = x

Agora podemos relacionar a taxa de variação de x com a de θ . Então vamos derivar essa função!

Passo 3

Agora vamos derivar implicitamente em relação a x e θ ,

d x d t = d tan ⁡ θ d t

Derivando,

d x d t = sec 2 ⁡ θ d θ d t

Lembrando que a derivada de tangente é secante ao quadrado.

Como queremos a variação do ângulo, vamos isolar d θ d t

d θ d t = 1 sec 2 ⁡ θ d x d t

Mas lembra que,

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ

Logo,

d θ d t = cos 2 ⁡ θ d x d t

Agora vamos substituir com os dados fornecidos pelo enunciado!

Passo 4

O enunciado diz que a coordenada x aumenta a uma velocidade constante de 10   m / s . Ou seja,

d x d t = 10 m s

Agora precisamos achar quem é cos ⁡ θ . Para isso, temos que lembrar que ele quer a variação quando x = 3 . Com essas informações, podemos montar o seguinte triângulo retângulo para achar θ :

Calculando cos ⁡ θ ,

cos ⁡ θ = c a t e t o   a d j a c e n t e h i p o t e n u s a = x h

cos ⁡ θ = 3 90 = 1 10

Agora podemos substituir tudo na nossa expressão de d θ d t .

Passo 5

Tinhamos que

d θ d t = cos 2 ⁡ θ d x d t

Substituindo os valores encontrados,

d θ d t = 1 10 2 10 = 1   r a d / s

Prontinho!

Resposta

1   r a d / s

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