Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

USP, Cálculo 1, P1 - 2019, Questão ME11

Um farol, situado a uma distância de 120 m de uma muralha, completa 2 voltas por minuto. Quando o facho de luz ilumina um ponto da muralha, situado a 150 m do farol, a velocidade com que o ponto de luz varre a muralha é de:

  1. 150 π   m / m i n
  2. 1125 π   m / m i n
  3. 375 π   m / m i n
  4. 7 50 π   m / m i n
  5. 90 0 π   m / m i n

Passo 1

Pra começar, vamos pensar nessa figura com alguns nomes a mais:

Como o farol gira, tanto o ângulo quanto a base desse triângulo imaginário de cabeça pra baixo variam com o tempo. O que a questão pede galera, na prática, é o quão rápido essa base aumenta ou diminui! Da trigonometria, temos que:

tan ⁡ θ t = x t 120

x t = 120   tan ⁡ θ t

Como queremos a taxa de variação no tempo desse x t , derivando d d t temos:

x ' t = 120   sec 2 ⁡ θ t ∙ θ ' t

E como o farol está girando em uma velocidade constante de 2 voltas ( 4 π ) por minuto:

x ' t = 480 π   sec 2 ⁡ θ t

Beleeza! Mas olha só, a questão diz que em um determinado instante um ponto a 150 m do farol esta sendo iluminado. Representando esse instante então por t 0 , temos:

x ' t 0 = 480 π   sec 2 ⁡ θ t 0

Show, falta a gente achar então o ângulo nesse instante. Achando ele, encontramos a velocidade em que o ponto de luz varre a muralha nesse mesmo instante ( x ' t 0 ).

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pode parecer doido catar informações de um instante específico. Mas fica tranquilo, porque o instante que queremos é exatamente aquele que vemos na foto. E nele, olhando pelo triângulo, temos:

sec ⁡ θ = 1 cos ⁡ θ = 1 1 20 150 = 150 120

Sendo assim:

sec 2 ⁡ θ t 0 = 150 120 2 = 150 120 150 120 = 15 12 15 12 = 5 4 5 4 = 25 16

E a velocidade vai ser:

x ' t 0 = 480 π   sec 2 ⁡ θ t 0

x ' t 0 = 480 π   25 16

x ' t 0 = 75 0 π  

A resposta é a Letra D

Resposta

L e t r a   D

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