Um ponto move-se sobre o gráfico de y   =   1 x ² + 1 , de tal modo que sua abscissa x varia a uma velocidade de 5   m / s . Qual a velocidade de y no instante em que x é igual a 10   m e t r o s ?

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Bom a questão fala sobre um ponto que se move com trajetória descrita pelo gráfico y   =   1 x ² + 1 . Além disso a questão complementa as informações afirmando que a abscissa x varia a uma velocidade de 5   m / s , ou seja, a trajetória do ponto em relação ao eixo x se altera 5   m e t r o s a cada 1   s e g u n d o . Sendo assim, a questão deseja saber qual é a variação do eixo y em relação a x quando x   =   10   m . E aí como vocês acham que devemos proceder???

Passo 2

De acordo com a regra da cadeia temos que :

d y d x =   d y d t   d t d x

No que isso vai nos ajudar? Bom a questão quer saber quanto é o valor da velocidade de y né, significa que quer o quanto y varia em relação ao tempo ( t ) . Então para solucionarmos o problema devemos encontrar quem é d y d x e d t d x para aplicarmos na expressão acima.

Passo 3

Bora lá, vamos encontrar quem é d y d x :

d y d x =     ( 1 x ² + 1 ) '   =   ( ( x ² + 1 ) - 1 ) '  

Aplicando a regra da cadeia:

d y d x =   - 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x

Passo 4

E a questão nos informou que x varia a uma velocidade de x   =   5   m / s , ou seja, é a derivada de x em relação ao tempo ( t ) , entretanto queremos saber o inverso desse valor, portanto

d t d x   =   1 5

Agora temos tudo para aplicar na nossa receitinha!

Passo 5

d y d x =   d y d t   d t d x

onde se conhece d y d x e d t d x

d y d x =   - 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x

d t d x   =   1 5

Logo,

- 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x = d y d t   1 5  

d y d t = - 1 ( x ² + 1 ) ² ⋅ 2 x ⋅ 5  

E deseja-se saber a velocidade de y em x =   10   m , basta substituir:

d y d t = - 1 ( 10 ² + 1 ) ² ⋅ 2 ( 10 ) ⋅ 5 = - 100 101 ²   m / s  

E aí, fofuchos!!! Te ajudei?!

Bons Estudos! :)

Resposta

- 100 101 ²   m / s

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2 , 1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre qu
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s