É muito comum falarmos em taxa de crescimento usando porcentagens: por exemplo, a população cresce 1% ao ano. Essa medida é uma medida relativa comparada ao seu valor prévio: a população do ano seguinte é 1% maior que a população do ano atual. Apesar de não parecer, essa afirmação pode ser traduzida matematicamente usando a noção de taxa de variação média: se P(t) é a população no ano t, então essa afirmação pode ser escrita como

P t + 1 - P ( t ) t + 1 - t = 0,01 P ( t )

O denominador da fração do lado esquerdo é 1 , mas colocamos na forma de t + 1 - t para ilustrar o quociente que representa a taxa de variação média. E se essa informação da taxa de crescimento relativa não for “média”, mas sim instantânea? Neste caso, o lado esquerdo da igualdade é trocado por P ' ( t ) e ficamos com

P ' t = 0,01 P ( t )

  1. Mostre que P t = P 0 e 0,01 t , em que P 0 é a população no instante de tempo 0 , é solução da equação acima.
  2. Mostre que P t = P 0 e k t , em que P 0 é a população no instante de tempo 0 , é solução da equação P ' t = k P ( t ) .
  3. Justifique a afirmação: “Em uma população modelada pela função P t = 1000 e 0,005 t , em que t é medido em anos, a taxa de crescimento anual é 0,5 % .”
  4. Determine a taxa de crescimento anual de uma população que cresce proporcionalmente ao seu tamanho e que, em 10 anos, saltou de 2,56 bilhões para 3,04 bilhões de habitantes

Passo 1

Falaeee, belezinha?? Seguinte, vamos começar aqui direitinho com a letra (a).

Sendo P t = P 0 e 0,01 t , temos que sua derivada é P ' t = 0,01 P 0 e 0,01 t .

Portanto, observamos que P ' t = 0,01 P ( t ) .

Observamos também que, para t = 0 (população no instante de tempo 0 ),

P 0 = P 0 e 0 = P 0

Passo 2

Na letra (b), da mesma forma que fizemos na letra (a), sendo agora P t = P 0 e k t , derivando P ( t ) , temos P ' t = k P 0 e k t .

E, substituindo P ( t ) , temos:

P ' t = k P ( t )

Observa-se também que, pata t = 0 , temos:

P 0 = P 0 e 0 = P 0

Passo 3

Na letra (c), se derivarmos P ( t ) , obtemos P ' t = 0,005 ∙ 10000 e 0,005 t .

Substituindo nessa expressão o valor de P ( t ) , vemos que P ' t = 0,005 P ( t ) .

Essa expressão indica que a taxa de variação de P ( t ) é de 0,005 ou 0 , 5 % .

Passo 4

Para a letra (d), temos que a expressão para a população em função do tempo é dada por: P t = 2,56 e k t .

Sabendo que para t = 10 , P 10 = 3,04   b i , determinaremos a constante k a seguir:

3,04 = 2,56 e 10 k ∴

e 10 k = 3,04 2,56 ∴

k = 1 10 ln ⁡ 3,04 2,56 ∴

k ≈ 0,017

Logo, verificamos que a taxa de crescimento da população é de 1,7 % .

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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