Um homem se encontra em um barco a remo a 3km da costa e deseja chegar a uma cidade litorânea que está a 6 km em linha reta do ponto (na costa) mais próximo do barco. Ele rema a 4 km/h e caminha a 5 km/h. Onde ele deve aportar para chegar à cidade do no menor tempo possível.

Passo 1

E aí, gente!! Beleza? Nessas questões é sempre bom a gente primeiro tentar desenhar e escrever as funções que descrevem esse problema físico. Então sempre façam isso antes de sair resolvendo o problema.

Vamos chamar de x a distância na costa de onde ela aporta o barco e onde ela está. Como na figura

Passo 2

Assim, a distância que ele vai remar, vai ser feita por Pitágoras, que vai ser:

d 2 = 2 2 + x 2

d 2 = 4 + x 2

d = 4 + x 2

Como está no desenho.

O tempo que ele vai levar para fazer cada parte é a divisão da distância pela velocidade que ele tem.

t m a r = d 2 = 4 + x 2 2

t t e r r a = 6 - x 5

Vamos ter que o tempo total vai ser:

t = t m a r + t t e r r a

t = 4 + x 2 2 + 6 - x 5

t = 4 + x 2 2 + 6 5 - x 5

Aqui, vamos ter que x vai de 0 , que é quando ele rema em linha reta até a costa e 6 , que é quando ele rema em linha reta até a vila.

Passo 3

Para achar o tempo mínimo, temos que achar o ponto de mínimo de t .

Para isso, temos que ver se existe algum extremo no intervalo de x e comparar com os extremos do intervalo.

Vamos começar achando a derivada:

t ' = 4 + x 2 2 + 6 5 - x 5 '

t ' = 4 + x 2 2 ' - 1 5

Para derivar aquela raiz, vamos escrevê-la em forma de potência:

4 + x 2 = 4 + x 2 1 2

Asism, teremos:

t ' = 4 + x 2 1 2 2 ' - 1 5

t ' = 1 2 4 + x 2 - 1 2 2 4 + x 2 ' - 1 5

Não podemos esquecer de derivar o termo dentro da potência, por conta da regra da cadeia.

t ' = 1 2 4 + x 2 - 1 2 2 2 x - 1 5

t ' = x 2 4 + x 2 - 1 5

Vamos ter:

x 2 4 + x 2 - 1 5 = 0

x 2 4 + x 2 = 1 5

Multiplicando cruzado:

2 4 + x 2 = 5 x

Elevando ao quadrado:

4 4 + x 2 = 25 x 2

16 + 4 x 2 = 25 x 2

21 x 2 = 16

x 2 = 16 21

x = ± 4 21

Como x é maior que 0 , vamos pegar só

x = 4 21

Passo 4

Agora, poderíamos verificar se ele é ponto de mínimo ou não. Mas aquela raiz vai ser bem ruim de trabalhar e a segunda derivada vai ser um porre. Então podemos antecipar isso e so comparar os extremos com esse valro de x na função. O menor é o ponto de mínimo.

t = 4 + x 2 2 + 6 5 - x 5

Vamos usar uma calculadora para ajudar as contas:

x = 0 → t = 2,2

x = 4 21 → t ≅ 2,12

x = 6 → t ≅ 3,16

Então o ponto de mínimo é quando a distânciua for 4 21

Resposta

À 4 21 km de distância, na costa, do ponto onde ele está

Exercícios de Livros Relacionados

20. Caminhão na estrada O gráfico a seguir mostra a posição de um caminhão que percorre uma estrada. O caminhão parte em t = 0 e retorna 15 h mais tarde, em t = 15.a. Use a técnica descrita no Exemplo
O rendimento total recebido da venda de x carteiras é R x = 200 x - 1 3 x 2 c) Ache o rendimento real da venda da trigésima primeira carteira.
O número de células de levedura em uma cultura de laboratório aumenta rapidamente no início, mas eventualmente estabiliza. A população é modelada pela função n = f t = a 1 + b e - 0,7 t Em que t é med
(a) Encontre a taxa de variação média da área de um círculo em relação ao seu raio r quando r varia de i 2a3i i2a2,5i i i 2a2 , 1 (b) Encontre a taxa de variação instantânea quando r = 2 (c) Mostre qu
A quantidade de carga Q , em coulombs (C), que passa através de um ponto em um fio até o instante t (medido em segundos) é dada por Q t = t 3 - 2 t 2 + 6 t + 2 Encontre a corrente quando (a) t = 0,5 s