Um avião está voando com velocidade constante a uma altitude de 3   k m paralelamente ao solo.

Em um dado instante, um observador situado no solo observa que o ângulo de elevação do avião é de π 3   r a d e está aumentando a uma taxa de 1 60   r a d / s . Calcule a velocidade do avião.

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente determinar a velocidade do avião, que está voando a uma altitude h = 3   k m = 3000   m e tem um ângulo de observação α = π 3   r a d . Esse ângulo varia a uma taxa d α d t = 1 60 r a d / s . Nosso esqueminha mostra essa situação:

Como a velocidade é a taxa de variação da posição em relação ao tempo, o que nós queremos encontrar é v = d x d t . Então, como a gente quer saber a derivada da posição em relação ao tempo, precisamos encontrar uma expressão para essa posição x ( t ) , certo? Pra isso, vamos usar o esquema da figura acima e encontrar relações entre a distância horizontal x e o ângulo α .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar usando a relação da tangente do ângulo α no triângulo retângulo da figura no passo 1 . Assim, temos:

tan ⁡ ( α ) = x h

Como o ângulo α e a distância x são consideradas funções do tempo, derivando essa expressão implicitamente, vamos ter:

d d t tan ⁡ ( α ( t ) = d d t x t h

sec 2 ⁡ α t α ' t = x ' t h

Nós sabemos quem é α ' ( t ) porque o enunciado nos disse que o ângulo varia a uma taxa d α d t = 1 60 r a d / s . Além disso, nós sabemos que quando h = 3000   m , o ângulo de observação é α = π 3 .

Assim, isolando x ' ( t ) e substituindo os valores, temos:

x ' t = sec 2 ⁡ ( α t ) ∙ α ' t ∙ h

x ' t = sec 2 ⁡ π 3 ∙ 1 60 ∙ 3000

x ' t = 4 ∙ 1 60 ∙ 3000 = 200   m / s

E encontramos nosssa velocidade.

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

200   m / s

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