Enche-se um reservatório, cuja forma é a de um cone circular reto, de água a uma taxa de 0,1 m 3 / s . O vértice está a 15 m do topo e o raio é de 10 m . Com que velocidade o nível h da água está subindo no instante em que h = 7 m .

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa é uma questão de taxa relacionada! Temos um cone e que está enchendo a uma taxa de 0,1 m 3 / s . Aqui está um esboço desse reservatório

A questão pede a variação da altura da água quando a altura é 5   m . Temos a taxa de variação de seu volume, que é a derivada do volume e vale 0,1   m ³ / s . Sabemos também que o volume do cone é dado por

V = π r 2 h 3

Além disso, o enunciado diz que o raio do cone é 10 m . Então para resolver exercícios de taxa precisamos relacionar as grandezas!

Já temos a variação do volume – isso indica que precisamos derivar o volume! E queremos saber a variação da altura – então precisamos ter o volume apenas em termos da altura

E é isso! Olhando com mais carinho para o desenho vamos ter uma relação entre altura e raio, aí é só relacionar com o volume, derivar e partir para o abraço!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Nossa missão agora é relacionar altura e raio! Olhando para o desenho

Assim:

r = 2 3 h

Podemos então ter o volume apenas em função da altura:

V = π r 2 h 3

V = 4 π 27 h ³

Tudo bem até aqui?

Passo 3

Para achar a taxa de variação da altura, teremos que derivar implicitamente a equação que dá o volume em relação ao tempo:

V ' = 3.4 . π h 2 . h ' 27

E isolar a taxa de variação da altura h '

h ' = 27 V ' 12 π h 2 = 9 V ' 4 π h 2

Beleza? Sabemos que o volume está variando segundo a taxa V ' = 0,1 m 3 / s e queremos saber a taxa que a altura varia quando h = 5 :

h ' ( 5 ) = 9.0,1 4 π 5 2 = 0,9 100 π   m / s

Então é isso pessoal! Terminamos!

Espero ter te ajudado!

=D

Resposta

0,9 100 π   m / s

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