Um carro, vindo do norte, aproxima-se de um cruzamento em ângulo reto a uma velocidade de 60   k m / h . Ao mesmo tempo, um outro carro, que se situa à leste do cruzamento, afasta-se a uma velocidade de 50   k m / h . Determine a taxa de variação da distância entre os dois carros no instante em que o primeiro está a 20   k m do cruzamento e o segundo está a 15   k m do cruzamento. Qual a interpretação física do sinal do resultado encontrado?

Passo 1

E aii, galerinha!! Como estão? Vamos juntos pra mais uma!!

A melhor forma de começarmos a nossa questão é visualizar a situação em questão. Os carros estão se cruzando assim como a figura abaixo:

Uma boa forma de modelar o nosso problema é pensar em um triângulo, uma vez que se está interessado na variação da distância entre os automóveis. Além do fato de que o ângulo entre os automóveis é de 90°. Portanto a distância entre os automóveis vai ser dada por Z .

Passo 2

Bom, podemos começar pensando nas equações do espaço em função do tempo ( t )   para cada carro.

O enunciado nos diz que o carro roxo possui a velocidade constante de 60   k m / h , como a trajetória é retilínea logo temos que :

y ( t )   = - 60 t  

E para o carro vermelho o enunciado afirmou que sua velocidade constante era de 50   k m / h :

x ( t )   =   50 t

Passo 3

Como já esboçamos a distância entre os carros ( z ) , devemos então encontrar a taxa de variação dessa distância, ou seja, devemos encontrar a derivada de z em relação ao tempo.

Por formar um triângulo retângulo aplicamos o Teorema de Pitágoras:

Z ( t ) ²   =   x ( t ) ²   +   y ( t ) ²

E como estamos interessados na derivada de Z , aplicaremos a derivada em toda a expressão.

d z ( t ) ² d t =   d x ( t ) ² d t + d y ( t ) ² d t

Como z ( t ) ,   x ( t )   e   y ( t ) são funções de t aplicaremos a regra da cadeia:

2 z ( t ) ⋅ z ( t ) ' = 2 x ⋅ x ( t ) '   +   2 y ⋅ y ( t ) '

z ( t ) '   =   x ⋅ x ( t ) '   +   y ⋅ y ( t ) ' z ( t )

E sabemos que z ( t )   =   x ( t ) ² + y ( t ) ²

Assim,

z ( t ) '   =   x ⋅ x ( t ) '   +   y ⋅ y ( t ) '   x ( t ) ² + y ( t ) ²

Logo:

z ( t ) ' | t   =   t 0   =   x ⋅ x (   t 0 ) '   +   y ⋅ y (   t 0 ) '   x (   t 0 ) ² + y (   t 0 ) ²  

Passo 4

Como já sabemos as funções das posições x ( t )   e   y ( t ) , então podemos calcular suas derivadas:

x ( t ) =   50 t     e   y ( t ) =   - 60 t

Logo,

x ( t ) '   = 50   e   y ( t ) ' =   - 60  

Tranquilo??

Bora aplicar na fórmula então!

z ( t 0 ) '   =   x ⋅ x (   t 0 ) '   +   y ⋅ y (   t 0 ) '   x (   t 0 ) ² + y (   t 0 ) ²  

z ( t 0 ) '   =   x ⋅ 50   +   y ⋅ ( - 60 )   x (   t 0 ) ² + y (   t 0 ) ²  

Passo 5

A questão nos informou também que em um dado tempo t 0 :

x ( t 0 )   =   15   k m

y ( t 0 )   =   20   k m

Portanto,

z ( t 0 ) '   =   x ⋅ 50   +   y ⋅ ( - 60 )   x (   t 0 ) ² + y (   t 0 ) ²     = 15 ⋅ 50   +   20 ⋅ ( - 60 )   15 ² + 20 ²   = - 18   k m / h  

Como o sinal da taxa de variação da distância é negativa significa que os automóveis estão se aproximando.

E aí, fofuchos!!! Te ajudei?!

Bons Estudos! :)

Resposta

- 18   k m / h , indica que os automóveis estão se aproximando

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