Um objeto circular aumenta de tamanho de alguma forma desconhecida. Entretanto, é sabido que quando o raio é igual a 6   m e t r o s , a taxa de variação do raio é igual a 4   m / m i n . Encontre a taxa de variação da área quando o raio é igual a 6   m e t r o s .

Passo 1

E aiiiii, xuxus!! Quais as novidades? A que eu tenho pra vocês é que vão tirar 10 nessa matéria :)

Bom, nosso probleminha é sobre um objeto circular que aumenta de tamanho de forma misteriosa rs, entretanto sabemos que a taxa com qual o raio aumenta é de 4   m / m i n quando o raio é 6   m e t r o s . Portanto, deseja-se saber qual é a taxa de variação da área para esse mesmo raio.

Respira e calma! Por onde você começaria??

Vamos começar por onde sabemos né!

Qual é a fórmula da área de um círculo?

Passo 2

Já lembraram né!

A área de um círculo é dado por:

A   =   π r ²

E utilizando a regra da cadeia temos que :

d A d t =   d A d r d r d t

Hummm… tenho certeza que essa expressão te fez pensar um pouco! Essa expressão não foi colocada aí à toa, é justo a forma de relacionar a taxa de variação da área em relação ao tempo com a taxa de variação do raio em relação ao tempo.

Bom, precisamos agora calcular derivadassss!

Passo 3

Como o enunciado nos deu a variação do raio em relação ao tempo é de 4   m / m i n , basta descobrirmos a variação da área em relação ao raio e isso sabemos calcular então bora lá!

d A d r   =   ( π r ² ) '   =   2 π r

Logo nossa expressão fica:

d A d t =   d A d r d r d t

d A d t = ( 2 π r ) ⋅ 4

E o enunciado nos informou também que a variação da área deveria ser em relação ao raio igual a 6   m e t r o s . Assim,

d A d t = ( 2 π 6 ) ⋅ 4 =   48 π

Tranquilinho? Pois Responde Aí!

:)

Resposta

48 π

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