Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

UFRJ, Cálculo 1, P1 - 2018.1, Questão Q04

Uma escada de 12 m de comprimento está apoiada em um muro de 6 m de altura, conforme

representado na figura. A base da escada desliza pelo chão, afastando-se do muro, com velocidade constante de 0,1   m / s . Determinar a taxa de variação instantânea da altura h , indicada na figura, no instante em que a base da escada está a uma distância de 6 m do muro.

Passo 1

Vamos lá, a primeira coisa que a gente precisa fazer é olhar bem pra figura e saber o que está acontecendo, beleza? A escada está escorregando, então a ideia é essa aqui ó:

Então a gente sabe que h está diminuindo com o tempo. Ok, beleza, o que a gente precisa agora é dar nome aos bois pra saber relacionar h desconhecido com coisas conhecidas. Uma idéia é chamar assim:

Agora, se você pensou em semelhança de triângulos, pensou certo! Os dois triângulos são triângulos retângulos, então podemos relacionar:

h 12 - L = 6 L

h = 72 - 6 L L

h = 72 L - 6

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Passo 2

Ok, escrevemos h como uma função de L mas....e agora? A gente não sabe nada sobre L ! Calma, podemos até não saber, mas olha a base do triângulo! Esse sim sabemos algo, sabemos a taxa com que a base aumenta! Sendo um triângulo retângulo:

x 2 + 6 2 = L 2

L = 36 + x 2

A nossa altura então fica:

h = 72 36 + x 2 - 6

Agora basta a gente derivar em relação ao tempo galera! Saca só:

h = 72 36 + x 2 - 1 2 - 6

h ' = 72 - 1 2 36 + x 2 - 1 2 - 1 2 x x '

h ' = - 72 36 + x 2 - 3 2 x   x '

Passo 3

Agora é só a gente substituir os valores e partir pro abraço! Como o h ' é pedido no instante em que a base da escada está a uma distância de 6 m do muro, temos que:

x = 6

E da figura, temos que a taxa de variação da base do triângulo maior, ou seja, a taxa de afastamento da base da escada pro muro, é dada como:

x = 0,1

Sendo assim:

h ' = - 72 36 + x 2 - 3 2 x   x ' = - 72 36 + 6 2 - 3 2 6 0,1

h ' = - 72 72 - 3 2 0,6 = - 72 2 2 - 3 2 0,6

h ' = - 0,6 72 = - 6 10 2 3 3 2 = - 6 10 2 3 2 = - 1 10 2 = - 2 10 2

h ' = - 2 20   m / s

Resposta

h ' = - 2 20   m / s

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