Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

UFRJ, Cálculo 1, P1 - 2019.1, Questão Q04

Uma partícula se move sobre a elipse x 2 4 + y 2 2 = 1 ( x e y medidos em metros) deslocando-se no sentido anti-horário. No instante t 0 em que ela passa pelo ponto P = 1 , 3 2 , sua coordenada x decresce a uma taxa de 3   m / s . Quão rápido está variando a distância da partícula à origem 0,0 nesse instante t 0 ?

Passo 1

Um bom primeiro passo pra gente não enrolar a cabeça é esboçar a situação. Vamos então esboçar:

  • Uma elipse
  • O ponto P
  • Indicação do sentido antihorário.
  • Distância ponto-origem

Olha só como fica:

A questão está pedindo a taxa de variação da reta desenhada na figura acima! Como ela pode ser encontrada por Pitágoras da seguinte forma:

d 2 = x 2 + y 2

d = x 2 + y 2

Então pra saber a taxa de variação em relação ao tempo, basta a gente derivar d d t , beleza? Pra ficar mais tranquilo de escrever, vamos usar o ' pra representar essa derivada em relação ao tempo:

d ' = 1 2 x 2 + y 2 x 2 + y 2 '

d ' = 1 2 x 2 + y 2 x 2 ' + y 2 '

d ' = 1 2 x 2 + y 2 2 x x ' + 2 y y '

O que é o mesmo que:

d ' = x x ' + y y ' x 2 + y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olha só galera, a gente não sabe exatamente qual o instante t 0 , mas como tanto x ,   x ' , y , y ' são funções desse instante, podemos considerar:

x = x t 0

x ' = x ' t 0

y = y t 0

y ' = y ' t 0

Como sabemos as coordenadas no instante t 0 , então parte do problema ta dado! O enunciado é bonzinho e ajuda a gente. Saca só:

P = 1 , 3 2

x = x t 0 = 1

y = y t 0 = 3 2 = 3 2

Sabemos ainda o valor de x ' ! Afinal, essa é a taxa de variação no tempo da coordenada x . Como o enunciado também da pra gente isso, nossa expressão de d ' = d d d t então ganha uma nova cara:

d ' = x x ' + y y ' x 2 + y 2

d ' = 1 - 3 + 3 2 y ' 1 2 + 3 2 2

d ' = 3 2 y ' - 3 1 + 3 2

O que por fim, dá:

d ' = 3 2 y ' - 3 5 2

Vai faltar só a gente achar y ' ! E é isso que vamos fazer no próximo passo, então borá lá!

Passo 3

Beleza, pra achar y ' é tranquilo se lembrarmos da equação da elipse. Dá uma olhada:

x 2 4 + y 2 2 = 1

Po, é só derivar implicitamente em relação ao tempo que o y ' aparece! Fazendo isso então:

2 x x ' 4 + 2 y y ' 2 = 0

x x ' 2 + y y ' = 0

y y ' = - x x ' 2

y ' = - x x ' 2 y

E a gente sabe tudo aí! Substituindo:

x = x t 0 = 1

y = y t 0 = 3 2

x ' = x ' t 0 = - 3

Ficamos com:

y ' = - 1 - 3 2 3 2

y ' = 3 2 2 3

Passo 4

E fechou, agora é só a gente juntar tudo:

d ' = 3 2 y ' - 3 5 2

y ' = 3 2 2 3

A gente parte pro abraço então depois de juntar e ajeitar esse resultado!

d ' = 3 2 3 2 2 3 - 3 5 2 = 3 2 1 - 3 5 2

d ' = 3 2 - 6 2 5 2 = - 3 2 5 2

O que, por fim, dá:

d ' = - 3 2 2 5       m / s

Resposta

d ' = - 3 2 2 5       m / s

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