Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

USP, Cálculo 1, P1 - 2017, Questão 6

Uma partícula se movimenta ao longo de uma reta real seguindo a função horária g :   R R dada por g t = f ( t 4 ) 2 f t 4 2 + 1 , com f : R R derivável e unidades no sistema MKS. Supondo f 1 = f ' 1 = 1 , calcule a velocidade da partícula no instante t = 1 .

Passo 1

A velocidade é a variação da distância em relação ao tempo, por isso pode ser representada por nada mais nada menos que a derivada da função. Então vamos derivar g . Começando com a regra do quociente, já que se trata de uma fração.

g ' t = f t 4 ' 2 f t 4 2 + 1 - f t 4 ( 2 f t 4 2 + 1 ) ' ( 2 f t 4 2 + 1 ) ²

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora precisamos da regra da cadeia, porque temos que derivar a composição de funções f t 4 .

g ' t = f ' t 4 . 4 t 3 ( 2 f t 4 2 + 1 ) - f t 4 ( 2.2 f t 4 . f ' t 4 . 4 t 3 ) ( 2 f t 4 2 + 1 ) ²

g ' t = 4 t 3 f ' t 4 ( 2 f t 4 2 + 1 ) - ( 16 t 3 . f t 4 . f ' t 4 ) f t 4 ( 2 f t 4 2 + 1 ) ²

Passo 3

Substituindo t = 1 , f 1 = f ' 1 = 1 teremos:

g ' 1 = 4 . 1 3 f ' 1 4 ( 2 f 1 4 2 + 1 ) - ( 16 . 1 3 . f 1 4 . f ' 1 4 ) f 1 4 ( 2 f 1 4 2 + 1 ) ²

g ' 1 = 4 f ' 1 ( 2 f 1 2 + 1 ) - ( 16 f 1 f ' 1 ) f 1 ( 2 f 1 2 + 1 ) ²

g ' 1 = 4.1 ( 2.1 ² + 1 ) - ( 16.1 . 1 ) 1 ( 2.1 ² + 1 ) ²

g ' 1 = 4 ( 2 + 1 ) - 16 ( 2 + 1 ) ²

g ' 1 = 12 - 16 9

g ' ( 1 ) = - 4 9

Resposta

- 4 9

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