Exercícios Resolvidos de Taxa Relacionada

Questão 3:

Considere o triângulo retângulo com catetos x e y . Sabemos que x aumenta a uma taxa de 3   c m / s , e que a área do triângulo permanece sempre igual a 6   c m 2 . A que taxa varia a hipotenusa do triângulo, quando x = 3   c m ?

Passo 1

Estamos lidando aqui com uma questão de taxas relacionadas, certo? E em questões assim, o que eu faço sempre é colocar todas as equações necessárias para a resolução da questão, ou seja, todas as equações que relacionam com as variáveis.

Veja só:

É um triângulo retângulo para primeiro de conversa...

Então por Pitágoras, conseguimos informações sobre a hipotenusa h ...

E q u a ç ã o   1 :           h 2 = x 2 + y 2

Outra função mencionada foi a área, e área de um triângulo retângulo é o produto dos catetos dividido por 2 ...

E q u a ç ã o   2 :         A = x y 2

Bem, essas são as equações que podemos tirar do enunciado que nos auxiliará. Bora ver como isso vai ficar?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Bem, com as equações em mãos, vamos ver o que podemos fazer para relacionar um pouco mais essas variáveis aí.

Foi-nos dito, que a área é sempre 6   c m 2 ...

6 = x y 2       →           y = 12 x

Substituindo essa expressão na equação 1 ...

  h 2 = x 2 + y 2   →           h 2 = x 2 + 12 x 2     →

h 2 = x 2 + 144 x 2

Hmmm! Interessante essa relação que chegamos. Agora o que queremos?

Queremos a taxa de variação da hipotenusa com o tempo, ou seja...

d h d t ?

Podemos então derivar a expressão que obtivemos implicitamente em relação a t considerando h t e x t , ou seja, expressões que dependem implicitamente do tempo t ...

d h t 2 d t = d x t 2 + 144 x t 2 d t

Derivando o primeiro termo da igualdade aplicando a regra da cadeia...

2 h ⋅ d h d t = d x t 2 + 144 x t 2 d t →

2 h d h d t = d x t 2 d t + d 144 x t 2 d t

Derivando o primeiro termo da soma também aplicando a regra da cadeia...

2 h d h d t = 2 x d x d t + d 144 x t 2 d t

Sem se esquecer do último...

2 h d h d t = 2 x d x d t - 144 ⋅ 2 x 3 ⋅ d x d t   →

2 h d h d t = 2 x d x d t - 288 x 3 d x d t

Nós queremos a d h / d t , então basta ter d x / d t , x e h , que matamos o problema !

Passo 3

E nós temos esses caras? SIM! Temos, ora bolas, o d x / d t é a taxa de variação de x no tempo, e esse valor foi dado...

d x d t = 3   c m / s

x é a coordenada do momento que a gente quer a taxa de variação, ou seja... x = 3   c m .

Quanto a h , ainda não temos, mas podemos encontrar rapidinho, já que sabemos que...

h 2 = x 2 + 144 x 2  

h 2 = 3 2 + 144 3 2 =

9 + 16 =

25

Logo h = 5 .

Com esses três termos em mãos...

2 h d h d t = 2 x d x d t - 288 x 3 d x d t   →

2 5 d h d t = 2 3 3 - 288 3 3 3   →

d h d t = 18 - 32 10 = - 14 10 =

- 7 5   c m / s

Esse menos significa apenas que a hipotenusa diminui o seu valor de 7 5 cm a cada segundo nesse instante onde x = 3 . :D

Resposta

- 7 5   c m / s

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