Calcule ∫ C F → . d r → , onde F → x , y , z = z - x + sen ⁡ x , z - x + cos ⁡ y , x - y + e z e C é a interseção do cilindro x 2 + y 2 = a 2 com o plano x a + z b = 1 ,   a > 0 ,   b > 0 , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima

Passo 1

Vamos lá galera, essa questão tem muita letra, vamos nos organizar aqui pra não perder o que é constante e o que é variável. Nosso campo F → é relativamente complexo, né? Mas perceba que seu rotacional não vai ser!

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = - 1 - 1,1 - 1 , - 1 - 0

r o t F → = - 2,0 - 1

Ótimo! Com esse rotacional fica muito fácil aplicar o teorema de Stokes. Vamos então escolher a nossa superfície a partir do esboço da curva

Tendo essa curva, como nosso rotacional é simples, vamos escolher a região de dentro mesmo, nossa superfície S vai ser essa aqui

A rotação já está no sentido anti-horário como pediu o enunciado, então, pelo teorema de Stokes

∬ S r o t F → n → d S = ∮ C F → d r →

Passo 2

Já temos o rotacional de F → , precisamos agora de uma parametrização de S para calcular seu vetor normal e seus limites. Essa superfície pode ser descrita como um círculo em x y , portanto

x = r cos ⁡ t

y = r sen ⁡ t

0 ≤ r ≤ a

0 ≤ t ≤ 2 π

O parâmetro de z vai ser um pouco mais complicado. Perceba que z é igual ao valor dele no plano x a + z b = 1 , certo? Isolando z nessa equação ficamos com

z = b - b a x

Então a parametrização de z vai ser essa aqui

z = b - b a r cos ⁡ t

Parece meio complicado, né? Mas nosso rotacional é extremamente simples, então vamos ter um pouco de trabalho nas contas agora do vetor normal, mas na hora de integrar vai ser bem simples, prometo!

Passo 3

Vamos ao cálculo do vetor normal, ele é dado pelo produto vetorial

N → = ∂ φ ∂ r × ∂ φ ∂ t

Vamos ver cada uma dessas derivadas com calma separadas

∂ φ ∂ r = cos ⁡ t , sen ⁡ t , - b a cos ⁡ t

∂ φ ∂ t = - r sen ⁡ t ,   r cos ⁡ t , - b a r - sen ⁡ t

∂ φ ∂ t = - r sen ⁡ t ,   r cos ⁡ t , b a r sen ⁡ t

Beleza, agora vamos pro produto vetorial

N → = i j k cos ⁡ t sen ⁡ t - b a cos ⁡ t - r sen ⁡ t r cos ⁡ t b a r sen ⁡ t

N → = b a r sen 2 ⁡ t + b a r cos 2 ⁡ t   , b a r sen ⁡ t cos ⁡ t - b a r sen ⁡ t cos ⁡ t   ,   r cos 2 ⁡ t + r sen 2 ⁡ t

Veja que a normal no eixo y vai zerar, o que é esperado, já que o plano possuir componentes

N → = b a r , 0 , r

Passo 4

Voltando pra integral

∬ S r o t F → n → d S = ∫ 0 2 π ∫ 0 a - 2,0 , - 1 . b a r , 0 , r d r d t

= ∫ 0 2 π ∫ 0 a - 2 b r a - r d r d t = - ∫ 0 2 π ∫ 0 a r 2 b a + 1 d r d t

= - 2 b a + a a ∫ 0 2 π   r 2 2 r = 0 r = a d t

= - 2 b + a a ∫ 0 2 π a 2 2 d t

= - 2 b + a a 2 π a 2 2 = - π 2 b + a a 2 a = - π a 2 b + a

Resposta

- π a ( a + 2 b )

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Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê