Enunciado

Seja γ a curva dada pela intersecção do paraboloide z = x 2 + y 2 com o cilindro x 2 + y 2 = 6 , orientada de modo que sua projeção no plano x y seja percorrida uma vez no sentido anti-horário. Calcule ∫ γ   F → . d r → no seguinte caso:

F → x , y , z = x - y ,   x - z + y 2 2 + sen ⁡ y ,   y

Passo 1

A primeira coisa que podemos repara é que essa função é definida em R 3 , então vamos usar o teorema de Stokes nessa função F , além disso a curva γ é fechada, isso porque a interseção vai ser um círculo em um dado z .

Usando o teorema de Stokes vamos ter

∫ γ   F → . d r → = ∬ S r o t F → ∙ n → d S

Primeiro vamos achar esse rotacional, depois vamos ver como é essa superfície S

r o t F → = ∂ F 3 ∂ y - ∂ F 2 ∂ z , ∂ F 1 ∂ z - ∂ F 3 ∂ x , ∂ F 2 ∂ x - ∂ F 1 ∂ y

r o t F → = 1 - - 1 , 0 - 0,1 - - 1

r o t F → = 2,0 , 2

Passo 2

Vamos achar agora o vetor normal, para isso vamos entender como é a superfície S que é a superfície que tem como fronteira a curva γ .

Vamos ter

x 2 + y 2 = 6

z = x 2 + y 2

Juntando as equações vamos ter

z = 6

Então a interseção vai ser

x 2 + y 2 = 6

Com z = 6

O vetor normal orientado no sentido anti-horário vai ser

n → = 0,0 , 1

Passo 3

A integral vai ser

∬ S r o t F → ∙ n → d S = ∬ S 2,0 , 2 ∙ 0,0 , 1 d S

⇒ 2 ∬ S d S = 2 Á r e a S

A área de S vai ser a área de uma circunferência com raio 6

A integral vai ser

∫ γ   F → . d r → = 2 . 6 2 π = 12 π

Resposta

12 π

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