Sejam C a curva parametrizada por γ t = cos 2 ⁡ t ,   2 cos ⁡ t sen ⁡ t , sen 2 ⁡ t ,     0 ≤ t ≤ π e F x , y , z = ( z , x , y ) um campo vetorial em R 3 .

Utilize o Teorema de Stokes para calcular a integral de linha do campo vetorial F ao longo de C .

Passo 1

Beleza, galera! O Teorema de Stokes nos diz que

∮ ∂ S   F → . d r = ∬ S   r o t F → . n → d s

Então logo de cara temos que calcular o rotacional de F → .

F → x , y , z = ( z , x , y )

r o t F → = i j k ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z z x y

r o t F → = ( 1,1 , 1 )

Tranquilo, agora temos que encontrar o vetor normal.

Passo 2

Para encontrar o vetor normal, vamos usar a parametrização que o problema nos deu.

γ t = cos 2 ⁡ t ,   2 cos ⁡ t sen ⁡ t , sen 2 ⁡ t

Beleza, tem algumas identidades trigonométricas que podemos usar pra salvar a nossa vida, por exemplo.

cos 2 ⁡ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2  

sen 2 ⁡ t = 1 - cos ⁡ 2 t 2

sen ⁡ 2 t = 2 cos ⁡ t sen ⁡ t → cos ⁡ t sen ⁡ t = sen ⁡ 2 t 2

Substituindo na parametrização que o problema nos deu, vamos ter o seguinte:

γ t = 1 + cos ⁡ 2 t 2 , 2 sen ⁡ 2 t 2 , 1 - cos ⁡ 2 t 2  

Então podemos escolher a seguinte parametrização:

ϕ x , y = x , y , 1 - x

Onde

x t = 1 + cos ⁡ 2 t 2

y t = 2 sen ⁡ 2 t 2

Está reconhecendo essa parametrização?

Temos cosseno de alguma coisa no x e seno de alguma coisa no y , isso lembra a parametrização de uma circunferência, mas repara que os caras que multiplicam o seno são diferentes dos caras que multiplicam o cosseno, então temos os eixos da circunferência retorcidos. Isso os diz que essa parada é uma elipse! Olha a parametrização geral da elipse:

x t = x 0 + a  cos ⁡ t

y t = y 0 + b sen ⁡ t

Então, temos x 0 = 1 / 2 , y 0 = 0 , a = 1 / 2 e b = 2 / 2 .

Outra coisa legal de perceber é que os termos dentro do seno e do cosseno estão como 2 t ao invés de t . Isso faz com que o t variando de 0 até π faça com que 2 t varie de 0 até 2 π , formando assim a elipse inteira ;)

Passo 3

Show! Agora podemos calcular o vetor normal.

n   → = ∂ φ ∂ x × ∂ φ ∂ y

∂ φ ∂ x = 1,0 , - 1

∂ φ ∂ y = 0,1 , 0

n   → = i j k 1 0 - 1 0 1 0 = 1,0 , 1

Como a parametrização da nossa elipse ta com o seno e o cosseno positivos sabemos que estamos percorrendo ela no sentido trigonométrico (anti-horário). Então usando a regra da mão direita dá pra ver que o vetor normal tem que estar no sentido positivo de z ! Então ta certinho o que a gente achou.

Passo 4

Voltando para o Teorema de Stokes:

∮ C   F   → . d r → = ∬ S   r o t F → . n → d s = ∬ ( 1,1 , 1 ) . 1,0 , 1 d x d y

= ∬ 2   d x d y = 2 . Á r e a S

Já vimos que a nossa superfície é algum tipo de elipse e a área da elipse é dada por

A = π a b

Onde a e b são os semieixos que também já achamos lá em cima.

Logo:

∮ C   F   → . d r → = 2 π × 1 2 × 2 2 = 2 π 2

Resposta

∮ C   F   → . d r → = 2 π 2

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Uma partícula se move ao longo dos segmentos de reta da origem aos pontos 1,0 , 0 ,1,2 , 1 ( 0,2 , 1 ) e de volta para a origem sob a influência do campo de forças F → = z 2 i → + 2 x y j → + 4 y 4 k
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = x 2 z 2 i → + y 2 z 2 j → + x y z k → , S é a parte do paraboloide z = x 2 + y 2 que está dentro do cilindro x 2 + y 2 = 4
Verifique se o Teorema de Stokes é verdadeiro para o campo vetorial dado F → e a superfície S . F → = y i → + z j → + x k → , S é o hemisfério x 2 + y ² + z ² = 1 ² ² , y ≥ 0 , orientado na direção po
Use o teorema de Stokes para calcular ∬ S c u r lF → ⋅ d S . F → x , y , z = e x y cos ⁡ z i → + x 2 z j → + x y k → , S é o hemisfério x = 1 - y 2 - z 2 orientado na direção positiva do eixo x . (Sug
Use o teorema de Stokes para calcular ∫ C F → ⋅ d r → . Em cada caso, C é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. F → x , y , z = y z i → + 2 x z j → + ( e x y ) k → , C é a circunferê