Sejam F → x , y , z = x 2 z i → + y + g z j → + - x z 2 + f x k → , de classe C 2 em R 3 e γ , uma curva fechada, simples e lisa em R 3 .

Considere as seguintes afirmações:

  1. Se γ está contida no plano z = 1 , então ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , quaisquer que sejam f x e g x .
  2. Se g z é constante e γ está contida no plano x + z = 1 , então ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , qualquer que seja f x .
  3. Se f x = x e γ está contida no cilindro x 2 + z 2 = 1 , então ∫ γ F → ⋅ d r → = 0 , qualquer que seja g z .

Assinale a alternativa verdadeira.

Escolha uma:

  1. Apenas as afirmações I e III são corretas.
  2. Todas as afirmações são falsas.
  3. Apenas as afirmações I e II são corretas.
  4. Apenas as afirmações II e III são corretas.
  5. Todas as afirmações são corretas.

Passo 1

Vamos lá para mais uma questão! Como temos várias afirmações para determinar, vamos começar devagar então. Vamos resolver cada uma das afirmações, e até tentar observar alguma conexão entre as afirmações.

Logo de cara a questão parece ser bem complicada. Como vamos calcular a integral de linha se a gente não conhece as funções f x e g x ? E pior! Não conhecemos nem a curva γ . Só sabemos que ela é uma curva fechada, simples, lisa em R 3 e, em cada afirmação, está contida em uma superfície diferente.

E aí? O que fazemos??? Bom, a sacada para resolver todas as três afirmações está com o Teorema de Stokes.

Devido as características da curva e que o nosso campo vetorial ser de classe C 2 , o que significa que ele possui derivadas parciais contínuas, podemos utilizar este Teorema. Ele nos diz que:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S R o t F → ⋅ N → d S

Vocês verão que tudo funcionará do produto interno do rotacional do campo F → com o vetor normal N → a superfície que contém a curva γ . Então, para darmos início a questão, vamos calcular o rotacional em si. Logo,

R o t   F → = ∇ × F → = i → j → k → ∂ ∂ x ∂ ∂ y ∂ ∂ z x 2 z y + g z - x z 2 + f x

R o t   F → = ∇ × F → = 0 - g '   z i → + x 2 + z 2 - f ' x j → + 0 - 0 k →

R o t   F → = ∇ × F → = - g ' z , x 2 + z 2 - f ' x , 0

Estamos quase lá! Como a curva γ está contida na superfície z = 1 , que é um plano, então, o seu vetor normal é: N → = 0,0 , 1 (as coordenadas são os coeficientes que multiplicam x , y e z na equação do plano).

Sendo assim, ao fazermos o produto interno da nossa integral, temos:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S - g ' z , x 2 + z 2 - f ' x , 0 ⋅ 0,0 , 1 d S

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S 0 d S = 0

E assim comprovamos que a afirmação I é verdadeira! Para qualquer curva γ contida em z = 1 , a integral de linha é igual a 0.

Passo 2

Agora vamos repetir a mesma ideia para as afirmações II e III. A diferença é que temos que identificar o novo vetor normal de cada superfície.

Para a afirmação II, em especial, temos g z como constante (se essa informação foi dada, ela provavelmente será necessária).

Já a sua superfície é o plano x + z = 1 . Como fizemos no Passo 1, o seu vetor normal é: N → = 1,0 , 1 (as coordenadas são os coeficientes que multiplicam x , y e z na equação do plano).

Portanto, vamos repetir o cálculo do produto interno.

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S - g ' z , x 2 + z 2 - f ' x , 0 ⋅ 1,0 , 1 d S

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S - g ' z d S

Eita! Agora deu diferente de zero o produto interno. Significa então que a afirmação é falsa???

Muita calma nessa hora! Lembram que g z é uma constante? E qual é a derivada de uma constante? Pois é... g ' z = 0 . Logo,

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S - g ' z d S = ∬ S 0 d S = 0

E sim, a afirmação II é verdadeira!

Passo 3

E, para finalizarmos a questão, vamos para a afirmação III. Agora, precisamos encontrar o vetor normal ao cilindro x 2 + z 2 = 1 , o que nos dará um trabalhinho. Vamos ter que parametrizar a superfície e obter o vetor normal.

Do nosso cilindro, em coordenadas polares, temos x = cos ⁡ θ , z = sin ⁡ θ e y = y . Portanto, a nossa superfície parametrizada é:

r → θ , y = cos ⁡ θ , y , sin ⁡ θ

E as derivadas parciais são:

r → θ θ , y = - sin ⁡ θ , 0 , cos ⁡ θ

r → y θ , y = 0 , 1 , 0

Agora, vamos fazer o produto vetorial para obtermos o vetor normal a nossa superfície. Logo,

r → θ × r → θ = i → j → k → - sin ⁡ θ 0 cos ⁡ θ 0 1 0 = - cos ⁡ θ , 0 , - sin ⁡ θ

O problema é que o vetor acima aponta para dentro do cilindro (orientação negativa). Para confirmarmos, basta colocarmos θ = 0 , e com isto, temos r → θ × r → θ = - 1,0 , 0 . Como precisamos de uma superfície orientada positivamente para utilizarmos o Teorema de Stokes, o vetor normal será:

N → = r → θ × r → θ = cos ⁡ θ , 0 , sin ⁡ θ

Para calcularmos a nossa integral, vamos mudar as coordenadas do nosso rotacional. Mas antes disso, vamos lembrar que f x = x , logo, f ' x = 1 . E com isto, teremos:

R o t   F → = - g ' z , x 2 + z 2 - f ' x , 0

R o t   F → = - g ' sin ⁡ θ , cos 2 ⁡ θ + sin 2 ⁡ θ - 1 , 0

R o t   F → = - g ' sin ⁡ θ , 1 - 1,0 = - g ' sin ⁡ θ , 0 , 0

E com isto, temos:

∫ γ F → ⋅ d r → = ∬ S - g ' sin ⁡ θ , 0,0 ⋅ cos ⁡ θ , 0 , sin ⁡ θ d S = ∬ S - cos ⁡ θ g ' sin ⁡ θ d S

Portanto, a nossa integral de linha não será igual a zero para qualquer função g z !!! Com isto, verificamos que a afirmação III é falsa!

Logo, apenas as afirmações I e II são corretas (letra c).

Resposta

Apenas as afirmações I e II são corretas (letra c).

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