UFF - Cálculo IIIA - P2 Maria João 2014.1 – 5
Usando o teorema de Stokes, calcule o trabalho realizado pelo campo de forças
quando uma partícula se move sob sua influência ao longo da curva de interseção das superfícies e , orientada no sentido anti-horário quando vista de cima.
Passo 1
Galerinha, a gente começa relembrando um pouco lá da física, onde trabalho é força vezes o deslocamento. Então, neste caso, podemos escrever o trabalho dessa forma aqui:
Para resolver essa integral vamos utilizar o Teorema de Stokes. Então teremos essa igualdade aqui:
Onde a curva é o bordo da superfície orientada positivamente.
Passo 2
A gente vai começar, esboçando essas superfícies para entender melhor o problema.
O enunciado forneceu a equação de duas superfícies.
A primeira é a equação da esfera, cujo raio é :
Já a segunda equação é um plano:
Esboçando as duas curvas, temos:
A interseção da esfera com o plano é uma circunferência de centro na origem e raio (repara que destacamos em preto na figura).
O enunciado também diz que ela está orientada no sentido anti-horário vista de cima. Deste modo, pela regra da mão direita, podemos ver que o vetor normal à superfície deve estar apontando para cima para aplicarmos o teorema de Stokes.
Passo 3
Agora vamos partir para integral!
Precisamos do rotacional do campo ! O rotacional é dado por:
Como nosso campo é
Temos que,
Calculando, ficamos com
Passo 4
Repara que na nossa integral temos o rotacional é multiplicado pelo unitário do vetor normal!
Então, precisamos do vetor normal à superfície .
Observando o esboço da superfície, vemos que o cículo que quermos orientar está contido no plano . Se não ficou claro, é só reparar que o o vetor normal sai do centro e avança para valores de negativos e positivos. Aahh, repara que ele não tem componente em .
Escrevendo na forma vetorial, temos
Ele é um vetor normal à superfície sobre a qual estamos integrando com a orientação que queremos. No entanto, precisamos do unitário dele pra fórmula:
Passo 5
Já temos todos os elementos, vamos para integral! Ela fica assim:
A gente pode deixar essa equação mais bonitinha tirando a raiz do denominador. Para isso, basta multiplicar por em cima e embaixo. Aí fica assim
Então temos que achar a área da superfície formada pela interseção do plano com a esfera. Como a esfera e o plano passam na origem, dá pra reparar que a interseção vai ser um círculo com o raio igual ao da esfera, que é !
Então,