Exercícios Resolvidos de Teste da Comparação

Passo 1

Bom, a gente sempre deve fazer o teste da divergência antes de tentar qualquer outro teste (a não ser que a série envolva um fatorial ou seja muito complicado de calcular o limite), porque se o cara for divergente, a gente já mata a questão, ok? Você lembra o que diz o teste da divergência?

Relaxa, nada mais é que calcular o limite do termo geral da série, quando n → ∞ . Se esse limite for diferente de zero, a série diverge, e se ele for diferente de zero, nada podemos concluir. Então bora fazer esse teste:

lim n → ∞ ⁡ c o s ⁡ ( n ) n 2

Como estamos tratando de uma função periódica, precisaremos usar o Teorema do Confronto. Dá uma olhada de como fazer: a gente sabe que a função cosseno varia entre - 1 e 1 .

- 1 ≤ c o s ⁡ ( n ) ≤ 1

- 1 n 2 ≤ c o s ⁡ ( n ) n 2 ≤ 1 n 2

Percebeu o que eu fiz? Apenas manipulei a expressão pra aparecer ali no meio o que eu queria! Agora vamos passar o limite em todo mundo:

lim n → ∞ ⁡ - 1 n 2 ≤ lim n → ∞ ⁡ c o s ⁡ ( n ) n 2 ≤ lim n → ∞ ⁡ 1 n 2

0 ≤ lim n → ∞ ⁡ c o s ⁡ ( n ) n 2 ≤ 0

Eita! Deu zero, então agora vamos para outro teste.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Você vai ver que vai ser esse teste que você vai usar na maioria das vezes quando aparecer um seno ou um cosseno dessa maneira simples aí. Vamos usar o teste da comparação! Olha só como:

c o s ⁡ ( n ) ≤ 1

c o s ⁡ ( n ) n 2 ≤ 1 n 2

Perceba que termo geral da nossa série é SEMPRE menor ou igual ao termo geral de uma p-série com p = 2 e a gente já viu que a p-série converge para p > 1 .

∑ c o s ⁡ ( n ) n 2 ≤ ∑ 1 n 2

Como a nossa série é sempre menor ou igual a uma série que converge, então a nossa série também converge.

Resposta

A série converge.

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