9 - Determine se a série converge ou diverge.

m) ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema queremos determinar se a serie dada por ∑ n = 2 ∞ 1 n ln ⁡ n converge ou diverge.

Parece de boa? 🤔

Para resolver esse problema podemos aplicar o teste da comparação.

Esse teste consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Dessa forma, se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge, mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Bora começar! 😉

Passo 2

Nesse caso, sabemos que ln ⁡ n < n para n ≥ 2 . Multiplicando os dois lados por n , temos

ln ⁡ n < n

n ln ⁡ n < n n

n ln ⁡ n < n

Invertendo os lados...

1 n ln ⁡ n > 1 n

Portanto vamos analisar se b n = 1 n converge...

Para saber se b n converge, podemos fazer uma assimilação com as P-Séries.

as P-Séries são dadas por

b n = 1 n p

E podemos determinar sua convergência apenas analisando o valor de p ...

Se p > 1 , a série converge, mas se p ≤ 1 a série diverge!

Nesse caso, temos que p = 1 portanto b n converge...

Como b n diverge e b n < a n , então certamente a n também diverge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Diverge pelo teste da comparação.

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