Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + ln 2 ⁡ n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Integral. E como ele funciona? Primeiro temos que verificar quando a nossa função é crescente ou decrescente. E para isso, vamos usar a nossa querida derivada.

Uma vez que a gente já saiba quando ela cresce e decresce, vamos calcular

∫ 1 ∞ f x d x

E agora vamos ter que fazer o seguinte:

s e   ∫ 1 ∞ f x d x c o n v e r g e ,   e n t ã o   ∑ a n   c o n v e r g e s e   ∫ 1 ∞ f x d x d i v e r g e ,   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e

Passo 2

Show galera, vamos calcular. Antes vamos determinar quando nossa função cresce ou decresce:

∑ n = 1 ∞ 1 n 1 + ln 2 ⁡ n

f ( n ) = 1 n 1 + ln 2 ⁡ n

Derivando:

f ' n = - 1 + ln 2 ⁡ n + n 2 ln ⁡ n n n 1 + ln 2 ⁡ n 2

f ' n = - ( ln ⁡ n + 1 ) ² n 1 + ln 2 ⁡ n 2

Se a gente analisar a nossa fração, reparem que o nosso termo do denominador é sempre positivo por que estamos elevando tudo ao quadrado:

n 1 + ln 2 ⁡ n 2 > 0

Como o nosso numerador é sempre maior que zero pois estamos elevando ao quadrado, podemos dizer que

( ln ⁡ n + 1 ) ² n 1 + ln 2 ⁡ n 2 > 0

Multiplicando por (-1)

- ln ⁡ n + 1 2 n 1 + ln 2 ⁡ n 2 < 0

Logo, a nossa função está sempre decrescendo. Show, agora que já descobrimos quando ela decresce, vamos integrar.

Passo 3

Vamos calcular:

∫ 1 ∞ f x d x = ∫ 1 ∞ 1 x 1 + ln 2 ⁡ x d x

Vamos aplicar a substituição:

u = ln ⁡ x → d u = 1 x d x

Substituindo:

∫ 1 ∞ 1 x 1 + ln 2 ⁡ x d x = ∫ 1 ∞ 1 1 + u ² d u = arctan ⁡ u = arctan ⁡ ln ⁡ x + C

Aplicando os limites:

arctan ⁡ ln ⁡ ∞ - a r c t a n ⁡ ( ln ⁡ 1 ) = arctan ⁡ ∞ - a r c t a n ⁡ ( 0 )

= π 2 - 0 = π 2

Pelo teste, ela converge.

Resposta

C o n v e r g e

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