Determine se a série converge ou diverge.

∑ n = 1 ∞ n s e n   1 n

Passo 1

Fala aí galera, bora resolver o nosso exercício?

Para resolvermos o nosso exercício, vamos usar o Teste da Divergência. E como ele funciona? Basicamente vamos ter que calcular:

lim n → ∞ ⁡ a n

Pra nossa série:

∑ n = 1 ∞ n s e n   1 n

a n = n s e n   1 n

E o que podemos definir com isso?

s e   lim n → ∞ ⁡ a n ≠ 0   e n t ã o   ∑ a n   d i v e r g e

Passo 2

Show galera, vamos calcular.

a n = n s e n   1 n

Jogando no nosso limite:

lim n → ∞ ⁡ a n = lim n → ∞ ⁡ n   s e n   1 n = lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n

Aqui a gente reescreveu a função pra encontrar um tipo de indeterminação que nos permite aplicar a regra de L-Hospital. Com ∞ . 0 não podemos, mas com 0 0 podemos.

Derivando então no numerador e no denominador:

lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n = lim n → ∞ ⁡ - cos ⁡ 1 n × 1 n 2 - 1 n ²

lim n → ∞ ⁡ s e n 1 n 1 n = lim n → ∞ ⁡ cos ⁡ 1 n = 1

Logo o limite deu diferente de zero, então:

∑ n = 1 ∞ n s e n   1 n → d i v e r g e

Resposta

D i v e r g e

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