Exercício 16. Enuncie o critério da comparação. Use o critério da comparação para verificar se a série

∑ n = 1 ∞ 1 n sin ⁡ 1 n

é convergente. (Lembre que sin ⁡ x < x se x ∈ 0 , π 2 .)

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 2 ∞ 1 n sin ⁡ 1 n e nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente...

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, podemos usar o teste da comparação...

O teste da comparação consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge...

Mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Parece complicado? 😉

Passo 2

Como foi dito no enunciado, podemos usar a informação que sin ⁡ x < x para x ∈ 0 , π 2 .

Portanto, temos que

sin ⁡ 1 n < 1 n

Assim, dividindo os dois lados por n

1 n sin ⁡ 1 n < 1 n ²

Dessa forma, obtemos que b n = 1 n 2 .

Pelas propriedades das P-Séries, sabemos que 1 n 2 converge já que o expoente de n é maior que 1.

Agora se a n < b n e b n converge, então certamente a n também converge!

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge

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Suponha que ∑ a n e ∑ b n sejam séries com termos positivos e que ∑ b n seja divergente.(a) Se a nb n para todo n , o que você pode dizer de ∑ a n ? Por quê?(b)Se a nb n para todo n , o que você pode
Determine se a série converge ou diverge.sum_(n = 1)^(oo) (n^3)/(n^4 - 1)
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