Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

f) ∑ n = 2 ∞ cos ⁡ 3 n 1 + 5 n ln ⁡ n ;

Passo 1

Fala aí! Tudo certinho? Esta questão está um pouco complicada? Relaxa que vamos tentar te ajudar. 😎

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 2 ∞ cos ⁡ 3 n 1 + 5 n ln ⁡ n e nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente...

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, podemos usar o teste da comparação...

O teste da comparação consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge...

Mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Parece complicado? 😉

Passo 2

Para essa série podemos usar como comparação a série

∑ n = 2 ∞ b n = ∑ n = 2 ∞ 1 5 n

Comparando a n = cos ⁡ 3 n 1 + 5 n ln ⁡ n com b n = 1 5 n vemos que o numerador de a n é menor que o de b n já que - 1 ≤ cos ⁡ 3 n ≤ 1 .

Agora o denominador de b n é maior que o de a n já que para n ≥ 2 , temos que 1 + 5 n ln ⁡ n > 5 n .

Com isso, podemos afirmar que a n ≤ b n , então se b n convergir, a n também converge...

Pra isso podemos aplicar o teste da razão em b n

O teste da razão de uma série ∑ n = 0 ∞ a n consiste em calcular o limite de a n + 1 a n , ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Para a série convergir, temos que ter lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n > 1 a série diverge.

Mas se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 não podemos afirmar nada.

Nesse caso a série é dada por

Aplicando o teste da razão chegamos em b n = 1 5 n

lim n → ∞ ⁡ 1 5 n + 1 · 5 n 1

Simplificando...

lim n → ∞ ⁡ 1 5 n · 5 · 5 n 1

lim n → ∞ ⁡ 1 5 = 1 5

Como esse resultado é menor que 1 a série b n converge e consequentemente a série ∑ n = 2 ∞ cos ⁡ 3 n 1 + 5 n ln ⁡ n também converge!

Fim! Iae, o que achou? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge

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