Exercício 20. Verifique quais das séries abaixo são convergentes (sem necessariamente calcular o limite).

i) ∑ n = 0 ∞ 1 ln ⁡ n ln ⁡ n ;

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema foi dada a série ∑ n = 0 ∞ 1 ln ⁡ n ln ⁡ n e nosso objetivo é determinar se essa série é convergente ou divergente...

Lembra como fazemos isso? 🤔

Nesse caso, podemos usar o teste da comparação...

O teste da comparação consiste em comparar nossa série ∑ n = 1 ∞ a n com uma outra série ∑ n = 1 ∞ b n .

Se a n ≤ b n e b n converge, então a n também converge...

Mas se a n ≥ b n e b n diverge, então a n também diverge!

Sacou? Parece complicado? 😉

Passo 2

Antes de aplicar o teste da comparação, podemos fazer algumas simplificações na série.

Temos que a n = 1 ln ⁡ n ln ⁡ n , ou seja

a n = 1 ln ⁡ n ln ⁡ n = 1 ln ⁡ n ln ⁡ n ln ⁡ n

Como 1 elevado a qualquer número ainda é 1 , então

a n = 1 ln ⁡ n ln ⁡ n

Como a ln ⁡ b = b ln ⁡ a , podemos dizer que a = ln ⁡ n e b = n , assim...

a n = 1 n ln ⁡ ln ⁡ n

Quando n > e e 2 , temos que ln ⁡ ln ⁡ e e 2 ≥ 2

Portanto podemos comparar nossa serie com

b n = 1 n 2

Se ln ⁡ ln ⁡ e e 2 ≥ 2 , então

a n ≤ b n

1 n ln ⁡ ln ⁡ n ≤ 1 n 2

Pelas propriedades das P-Séries, sabemos que 1 n 2 converge, logo, a n = 1 ln ⁡ n ln ⁡ n também converge! 😉

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

Converge

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