Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2018.2, Questão Q01

(3.0) Justifique se cada afirmação é verdadeira ou falsa.

(a) A sequência a n = sen n 1 + n verifica lim n a n = 1 .

(b) Se a n -ésima soma parcial de uma série n = 1 a n for s n = 3 - n 2 n então a n = n - 1 2 n + 1 .

(c) A série n = 1 2 n 3 n + 1 é uma série convergente.

Passo 1

Fala aí, vamos ver o que a afirmação da letra (a) nos pede.Ela que o limite da sequência a n , né? Bom, vamos pensar primeiro no numerador. A função seno assume valores entre - 1   e 1 . Então podemos dizer que:

- 1 sen n 1

Bom, então a gente pode dizer que:

- 1 1 + n sen n 1 + n 1 1 + n

Opaaa, nossa sequência está entre duas sequências. Vamos aplicar o Teorema do Confronto, ou seja, calcular o limite para elas.

lim n - 1 1 + n = 0

lim n 1 1 + n = 0

A nossa seuência então ficará assim:

0 lim n sen n 1 + n 0           lim n sen n 1 + n = 0    

Afirmação: Falsa

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Belezaaa, agora vamos analisar a letra (b). Primeiro, vamos pensar um pouco sobre o que significa uma soma parcial. O que seria a soma s 1 ? Concorda que seria só o termo a 1 ? Tá, e s 2 ?Bom, nesse caso, seria s 2 = a 1 + a 2 . Pela mesma lógica, s 3 = a 1 + a 2 + a 3 e assim por diante, ok? Agora, imagina que eu sei o valor de s 3 e de s 2 e te pergunto o valor de a 3 . Bom, basta fazer s 3 - s 2 = a 3 . Pensando aí parece bem tranquilo, néAgora, olha o que a questão está pedindo:

“Se a n -ésima soma parcial de uma série n = 1 a n for s n = 3 - n 2 n então a n = n - 1 2 n + 1

Pelo que a gente viu ali, concorda comigo que a n = s n - s n - 1 . É a mesma ideia que usamos para descobrir a 3 . Agora que a gente já entendeu a malícia da questão, bora resolver.

a n = s n - s n - 1

s n = 3 - n 2 n           e         s n - 1 =   3 - n - 1 2 n - 1

a n = 3 - n 2 n - 3 - n - 1 2 n - 1 = n - 1 2 n - 1 - n 2 n

a n = n - 2 2 n

Logo, a afirmação é Falsa

Passo 3

Maravilha, já resolvemos a letra (a) e a letra (b), agora vamor partir para a letra (c).

Quando uma questão pede para dizer se uma série é convergente ou divergente, é mais prático a gente começar pelo teste da divergência e se ele der inconclusivo, a gente vai buscando outros, né (Isso é só porque ele é mais simples e a gente pode ganhar um tempinho)

Bom, vamos então usar o teste para a divergência.Ih, não lembro muito bem como era esse teste aí não.Ele diz o seguinte:

Se a série n = 1 a n for convergente, então lim n a n = 0 .

Então se o lim n a n 0 , a nossa série é DIVERGENTE.

lim n 2 n 3 n + 1 = lim n 2 3 + 1 / n = 2 3 0

Logo, a série é divergente!

Afirmação: Falsa

Resposta

(a) Afirmação: Falsa

(b) Afirmação: Falsa

(c) Afirmação: Falsa

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