Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2017.1, Questão 1

Considere a sequência a n = n + 1 9 n + 1 ,   n 0 .

  1. Calcule lim n a n .
  2. A série n = 1 a n é convergente ou divergente?

Passo 1

Item a) vamos começar fazendo uma pequena reflexão: se esse termo dentro da raiz convergir para algum número, a n convergirá para a raiz dele. Isso acontece porque a gente só tem n dentro da raiz.

Sendo assim, a gente pode analisar o limite dentro da raiz

lim n a n = lim n n + 1 9 n + 1

Agora é só trabalhar com esse limite de dentro! :)

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Note que se a gente dividir em cima e em baixo por n dessa forma aqui

lim n n + 1 9 n + 1 = lim n n + 1 n 9 n + 1 n

E simplificar um pouquinho chegaremos a essa expressão

lim n 1 + 1 n 9 + 1 n

Se n está indo para o infinito, então 1 n está indo a zero, certo? Então

lim n 1 + 0 9 + 0 = 1 9

Beleza, agora se voltarmos com esse limite pra dentro da raiz...

lim n a n = lim n n + 1 9 n + 1 = 1 9

lim n a n = 1 3

Passo 3

Item b) como o limite da sequência a n é diferente de zero, a gente já pode dizer que a série diverge de cara! :)

Resposta

Item a)

lim n a n = 1 3

Item b)

A série n = 1 a n diverge

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