Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2013.1, Questão 2a

Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.

n = 1 ln n 2 n + 1

Passo 1

Vamos começar vendo o limite do termo geral dessa série,

O termo geral vai se

a n = ln n 2 n + 1

Ou seja, queremos

lim n ln n 2 n + 1

Isso porque se esse limite for diferente de 0 , já podemos dizer que essa série diverge pelo teste da divergência.

Se o limite não der 0 vamos caçar outros testes para usar

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos fazer o limite

lim n ln n 2 n + 1 = ln

Temos uma indeterminação ali dentro do ln   , vamos começar jogando o limite para dentro da função ln   . Podemos fazer isso porque ela é contínua

lim n ln n 2 n + 1 = ln lim n n 2 n + 1

Vamos agora fazer aquele limite dentro do ln  

lim n n 2 n + 1

Ainda temos a indeterminação, mas fizemos isso para podermos isolar essa indeterminação para ficar mais tranquilo de achar esse limite.

Repara que temos polinômio sobre polinômio nessa parada, então vamos colocar o n de maior grau em evidência no numerador e no denominador

lim n n 2 n + 1 = lim n n n 2 + 1 n

Simplificando esse n

lim n n n 2 + 1 n = lim n 1 2 + 1 n = 1 2 + 1 = 1 2 + 0 = 1 2

Passo 3

Opa achamos o limite, não deu 0 , então pelo teste .... CALMA, SEGUUUURA AÍ!!!

Esse não é o limite que queremos, lembra que esse é o limite dentro do ln   ? O limite que queremos vai ser

lim n ln n 2 n + 1 = ln lim n n 2 n + 1 = ln 1 2

Agora sim achamos o limite do termo geral. Esse limite não é 0 , então pelo teste da divergência essa série diverge.

Resposta

Essa série diverge.

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