Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

Ver Teoria

Enunciado

Determine quais séries abaixo convergem e quais divergem.

∑ n = 1 ∞ ln ⁡ n 2 n + 1

Passo 1

Vamos começar vendo o limite do termo geral dessa série,

O termo geral vai se

a n = ln ⁡ n 2 n + 1

Ou seja, queremos

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n + 1

Isso porque se esse limite for diferente de 0 , já podemos dizer que essa série diverge pelo teste da divergência.

Se o limite não der 0 vamos caçar outros testes para usar

Passo 2

Vamos fazer o limite

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n + 1 = ln ⁡ ∞ ∞

Temos uma indeterminação ali dentro do ln ⁡   , vamos começar jogando o limite para dentro da função ln ⁡   . Podemos fazer isso porque ela é contínua

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n + 1 = ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1

Vamos agora fazer aquele limite dentro do ln ⁡  

lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1

Ainda temos a indeterminação, mas fizemos isso para podermos isolar essa indeterminação para ficar mais tranquilo de achar esse limite.

Repara que temos polinômio sobre polinômio nessa parada, então vamos colocar o n de maior grau em evidência no numerador e no denominador

lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 = lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n

Simplificando esse n

lim n → ∞ ⁡ n n 2 + 1 n = lim n → ∞ ⁡ 1 2 + 1 n = 1 2 + 1 ∞ = 1 2 + 0 = 1 2

Passo 3

Opa achamos o limite, não deu 0 , então pelo teste .... CALMA, SEGUUUURA AÍ!!!

Esse não é o limite que queremos, lembra que esse é o limite dentro do ln ⁡   ? O limite que queremos vai ser

lim n → ∞ ⁡ ln ⁡ n 2 n + 1 = ln ⁡ lim n → ∞ ⁡ n 2 n + 1 = ln ⁡ 1 2

Agora sim achamos o limite do termo geral. Esse limite não é 0 , então pelo teste da divergência essa série diverge.

Resposta

Essa série diverge.

Exercícios de Livros Relacionados

27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.36. ∑ n = 1 ∞ 1 1 + 2 3 n
Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 0 ∞ 2 - k
Vimos que a série harmônica é uma série divergente cujos termostendem a 0. Mostre que ∑ n = 1 ∞ ln ⁡ 1 + 1 n também é uma série com essa propriedade.
Determine se a série é onvergente ou divergente. Se for convergente, encontre sua soma. ∑ k = 1 ∞ k 2 k 2 - 2 k + 5
27-42. Determine se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule sua soma.31. ∑ n = 1 ∞ 1 + 2 n 3 n