Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2017.2, Questão 1

Questão 1) Considere a sequência

a n = 1 + k n 2 n

Onde k R é uma constante.

  1. Calcule
  2. lim n a n

  3. A série

n = 1 a n

é convergente ou divergente? Justifique.

Passo 1

a )

Para calcular esse limite, podemos calcular o limite da função contínua

f x = 1 + k x 2 x

Pois os limites serão os mesmos, saca? A vantagem de se fazer isso é que assim podemos usar as regras já conhecidas de limites, como L’Hopital entre outros :D

Então bora calcular esse limite:

lim x 1 + k x 2 x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Como quando a x + temos uma indeterminação do tipo

1

Temos que trabalhar com ela pra tentar chegar a uma indeterminação do tipo 0 / 0 ou / para que possamos aplicar L’Hopital. Ressalto, porém, que 1 não é 1 , pois 1 não é um na verdade é se uma aproximação pra 1 e nessa aproximação não sabemos o que acontece com as potências, ok?

Bem, se aplicarmos um l n na parada...

1 + k x 2 x = e ln 1 + k x 2 x =

e 2 x ln 1 + k x

Ter essa sacada do l n é legal que o expoente desce. Bem, mas continuando com o limite...

lim x 1 + k x 2 x = lim x e 2 x ln 1 + k x

Como a função que depende de x é só o expoente, podemos colocar o limite apenas no expoente pra ver o que acontece com ele:

lim x e 2 x ln 1 + k x = e 2 lim x x ln 1 + k x

Se o expoente é esse limite

lim x x ln 1 + k x

Qual é o valor desse expoente?

Passo 3

lim x x ln 1 + k x

Veja que agora temos uma indeterminação do tipo 0 (que ainda não é 0 ). Se fizermos um trabalho com a função tal que...

0 = 0 1 = 0 0

Chegamos à desigualdade de que precisamos para usar o Teorema de L’Hopital...

lim x x ln 1 + k x = lim x ln 1 + k x 1 x =

Aplicando o teorema...

lim x ln 1 + k x 1 x = lim x ln 1 + k x ' 1 x ' =

lim x 1 1 + k x k 1 x ' 1 x ' = k lim x 1 1 + k x =

Como quando x vai ao infinito esse limite vai a 1 , pois k / x vai para 0 ...

k lim x 1 1 + k x = k

Passo 4

Esse limite que acabamos de ver é o limite do expoente. Então, o limite da função que queremos:

lim x 1 + k x 2 x = e 2 lim x x ln 1 + k x

É igual á:

lim x 1 + k x 2 x = e 2 k

E esse é o mesmo limite da sequência pedida saca?

lim n a n = lim n 1 + k n 2 n = e 2 k

Passo 5

b )

Bem, como o limite do a n deu

lim n a n = e 2 k

Que é para qualquer valor de k um número maior que 0 , então a série com toda certeza diverge.

Resposta

  1. e 2 k
  2. Diverge pelo critério da divergência.

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