Exercícios Resolvidos de Teste da Divergência

UFPE, Cálculo 3, 3º EE - 2018.1, Questão 1a

Questão 1: Escolha uma das sequências a n n = 1 :

a )   a n = 3 n + 5 n n

Determine o lim n a n e teste a convergência ou divergência da série

n = 1 a n

Passo 1

a )

Bem, no caso, o que nos buscamos aqui é a solução desse limite aqui:

lim n 3 n + 5 n n

Para resolver esse limite, podemos fazer um truque: colocar em evidência o 5 n ...

lim n 5 n 3 n 5 n + 1 n

Fazer isso é legal, pois a gente pode desconfiar que 3 n / 5 n vai pra zero quando n é muito grande. Se isso acontecer, o nosso limite fica fácil!

lim n 5 n 3 n 5 n + 1 n                         lim n 5 0 + 1 n        

lim n 5 n n = 5

VIU? Mas pow! Para dar esse resultado, nós fizemos uma suposição de que 3 n / 5 n vai a 0 pela nossa intuição matemática. Mas será que isso é verdade? Vejamos!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Queremos então ver qual é o resultado do limite (que pelo nosso feeling é 0 ):

lim n 3 n 5 n =

lim n 3 5 n

lim n 3 5 n

Esse limite não é algo “trivial” como pode parecer. Mas a gente pode trabalhar com ele de uma forma mais tangível se lembrarmos de que...

3 5 n = e ln 3 5 n = lim n e n ln 3 5

Assim...

lim n 3 5 n = lim n e n ln 3 5 =

Como ln 3 / 5 é um número negativo, pois 3 / 5 < 1 ...

lim n e n ln 3 5 = lim n 1 e - n ln 3 5

Agora - n ln 3 5 é um número positivo ln 3 / 5 - 0,51 . A medida que n cresce a exponencial cresce tendendo ao infinito, logo...

lim n 1 e - n ln 3 5 = 1 + = 0

Então está provado que...

lim n 3 5 n = 0

Passo 3

Como provamos, lim n 3 5 n = 0 , logo, de fato...

lim n 3 n + 5 n n = lim n 5 3 n 5 n + 1 n = 5

Passo 4

AH! E claro! Não podemos deixar de avaliar a convergência da série:

n = 1 a n

Para essa série ter a chance de convergir, o limite do termo geral a n no infinito tinha que ser 0 . Como isso não rolou, a série é divergente!

Resposta

lim n a n = 5         e         n = 1 a n   é   d i v e r g e n t e

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