Uma partícula move-se. sob a ação da força F → = 10   y   i → - 10   x   j →   ( N ) , no plano x y . Calcule:

( b ) O trabalho realizado pela força F → ao longo da diagonal do quadrado da trajetória da figura 2.19 , partindo da posição ( 2.2 ) e chegando a posição ( 6,6 ) .

Passo 1

Eaew, tudo certinho?

Temos uma partícula se movendo sobre a ação da força

F → = 10   y   i → - 10   x   j →   ( N )

no plano x y pela trajetória

Na alternativa anterior obtivemos que o trabalho realizado ao longo da trajetória completa foi

W F = - 320   J

indicando que esta força não é conservativa, já que o trabalho sobre uma trajetória fechada foi diferente de zero. Sendo assim, para encontrarmos a alternativa

( b ) O trabalho realizado pela força F → ao longo da diagonal do quadrado da trajetória da figura 2.19 , partindo da posição ( 2.2 ) e chegando a posição ( 6,6 ) .

Iremos precisar usar a definição de trabalho como

W A B = ∫ A B F → ⋅ d r →

Bora lá!

Passo 2

Usando que

d r → = d x   i → + d y   j →

o produto escalar no integrando de nosso trabalho é tal que

F → ⋅ d r → = 10   y   d x - 10   x   d y

Ou seja, temos que resolver

W A B = 10 ∫ A B ( y   d x - x d y )         ( 1 )

Não é trivial escolher os limites de integração nesta situação! Portanto, para facilitar o problema vamos tentar deixar tudo em termos de uma única variável x ou y , como fazemos isso?

Passo 3

Vamos tentar encontrar a equação da reta que liga o ponto ( 2,2 ) e o ponto ( 6,6 ) . A equação de uma reta é da seguinte maneira

y = a x + b         ( 2 )

como temos pontos da forma ( x = 2 , y = 2 ) e ( x = 6 , y = 6 ) , obtemos duas equações para os parâmetros

2 = 2 a + b → 1 = a + b / 2           ( 3 )

e, da mesma forma

1 = a + b / 6         ( 4 )

usando ( 3 ) dentro de ( 4 ) podemos obter

1 = 1 - b / 2 + b / 6 = 1 - b / 3

de forma que b = 0 . E, voltando em qualquer uma das equações acima podemos obter que

a = 1

e, sendo assim, a equação da reta é

y = x

Vamos usar isso para resolver a nossa integração!

Passo 4

Substituindo o resultado em nosso integrando temos que

W A B = ∫ 2 6 ( x   d x - x   d x ) = 0

note que d y = d x . Aí está! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

( b )   W A B = 0

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