Admita que a largura dos ombros de pessoas é uma variável aleatória (v.a.) normal de média 45   c m e desvio padrão de 3   c m . Pretende-se dimensionar o corredor de uma casa, de forma a permitir a passagem de duas pessoas, de maneira confortável. Consideram-se satisfeitas as condições de conforto quando há uma folga de 5   c m entre os ombros de duas pessoas e também entre os ombros e as paredes.

a) Qual a probabilidade de uma pessoa, escolhida ao acaso dessa população, ter a largura dos ombros maior que 46   c m ?

b) Um projetista desenhou o corredor com 112   c m de largura. Qual a probabilidade da passagem se dar de maneira confortável?

c) Que largura deve ter o corredor para permitir, em 99 % dos casos, a passagem de duas pessoas, de maneira confortável?

Passo 1

Fala galerinha, beleza? Bora resolver uma questão de prova!

Nesse problema vamos brincar com a famosa distribuição normal! A largura dos ombros de uma pessoa obedece a uma distribuição normal com média μ = 45 e desvio padrão σ = 3 . Com isso, a variância é σ 2 = 3 2 = 9 . Podemos descrever a variável X   ~   N μ ,   σ 2 que representa a largura dos ombros de uma pessoa dessa população por

X   ~   N 45 ,   9

A função distribuição de probabilidade para essa distribuição é a gaussiana:

f x = 1 2 π σ 2 e - x - μ 2 2 σ 2

A probabilidade da variável X assumir um valor entre X = a e X = b é dada pela integral

P a ≤ X ≤ b = ∫ a b f x   d x

Para resolver esses problemas, nós fazemos uma mudança de variável:

z = x - μ σ

Com isso,

z a = a - μ σ                   e             z b = b - μ σ

P a ≤ X ≤ b = P z a ≤ Z ≤ z b = ∫ z a z b f z   d z ,                 f z = 1 2 π e - z 2 2

Basicamente, o que essa mudança de variável faz é mudar a distribuição para uma distribuição normal de média zero e desvio padrão 1.

Para terminar essa discussão introdutória, vamos falar da função probabilidade acumulada Φ z . A integral da função gaussiana é não elementar, de modo que recorremos a tabelas e calculadoras para calcular essas probabilidades. Uma tabela muito comum é a tabela de probabilidade acumulada:

∫ z a z b f z   d z = Φ z b - Φ z a

A função Φ z dá a probabilidade da variável Z ser menor que z . Óbvio que essa função depende da média e do desvio padrão. Por isso, sempre que resolvemos os problemas vamos fazer a transformação para a variável z e usar essa tabela específica!

Passo 2

Vamos resolver o item (a)! Ele quer saber a probabilidade da largura X ser maior que 46   c m , isto é,

P X ≥ 46 = ∫ 46 ∞ f x   d x

Fazendo a transformação de variáveis:

x = 46 → z = 46 - 45 3 = 1 3

x = ∞ → z = ∞

Assim,

P X ≥ 46 = P Z ≥ 1 3 = ∫ 1 3 ∞ f z   d z = Φ ∞ - Φ 1 3

Olhando na tabela de probabilidade acumulada, temos Φ ∞ = 1 e Φ 1 / 3 = 0,6293 . Assim,

P X ≥ 46 = 1 - 0,6293

P X ≥ 46 = 0,3707

Passo 3

Para os itens (b) e (c), temos que construir uma nova variável aleatória que representa o comprimento do corredor para que duas pessoas o atravessam de maneira confortável. Vamos chamar essa variável de Y :

Y = 5 + X 1 + 5 + X 2 + 5 → Y = 15 + X 1 + X 2

Vamos calcular a média E Y e a variância V a r Y dessa nova variável:

E Y = 15 + E X 1 + E X 2

V a r Y = V a r X 1 + V a r X 2

Por outro lado, E X 1 = E X 2 = E X = μ = 45 e V a r X 1 = V a r X 2 = V a r X = σ 2 = 9 . Assim,

E Y = 105               e             V a r Y = 18

Portanto,

Y   ~   N 105 ,   18

Aqui eu usei um fato bem importante: a soma de variáveis que seguem uma distribuição normal também segue uma distribuição normal.

Nós queremos achar a probabilidade de Y ser menor que 112   c m :

P Y ≤ 112 = ∫ - ∞ 112 f y   d y

Precisamos a mudança de variável:

z = y - E Y V a r Y = y - 105 3 2

Para y = - ∞ , temos z = - ∞ . Já para y = 112 , temos z = 1,65 . Portanto,

P - ∞ ≤ Y ≤ 112 = P - ∞ ≤ Z ≤ 1,65 = ∫ - ∞ 1,65 f z   d z = Φ 1,65 - Φ - ∞

Olhando na tabela, temos Φ - ∞ = 0 e Φ 1,65 = 0,9505 . Portanto,

P Y ≤ 112 = 0,9505

Passo 4

No item (c), queremos achar o comprimento do corredor para que a probabilidade duas pessoas passarem com conforto seja de 99 % . Traduzindo isso para linguagem matemática, queremos achar o comprimento c para que probabilidade de Y ser menor que c seja 99 % :

P - ∞ ≤ Y ≤ c = 0,99

Fazendo a tradicional mudança de variável, temos

y = - ∞ → z = - ∞               e             y = c → z = c - 105 3 2

Portanto,

P - ∞ ≤ Y ≤ c = Φ c - 105 3 2 - Φ - ∞ = 0,99

Como Φ - ∞ = 0 , temos que

Φ c - 105 3 2 = 0,99

Olhando na tabela da função Φ z , vemos que ela assume o valor 0,99 quando z = 2,33 . Logo,

c - 105 3 2 = 2,33

Fazendo as contas, achamos

c = 114,88   c m

Isso finaliza o problema 😉!

Resposta

P X ≥ 46 = 0,3707

P Y ≤ 112 = 0,9505

c = 114,88   c m

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