Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

P1 – UFRJ 2015.2 – Questão 03

Considere que a demanda mensal de arroz em um restaurante a quilo, em toneladas, seja descrita por uma variável aleatória X, cuja função densidade é fornecida abaixo:

f x =   3 32 6 x - x 2 - 5 ,     p a r a   1 ≤ x ≤ 5 0 ,     c a s o   c o n t r á r i o

a) Calcule a probabilidade de que, em um determinado mês, a demanda arroz esteja entre 2 e 4 toneladas.

b) Calcule a probabilidade de que, em um determinado mês, a demanda de arroz seja superior a 2 toneladas, dado que essa demanda foi inferior a 4 toneladas.

c) Refaça os itens (a) e (b), supondo que a demanda mensal de arroz, em toneladas, tenha uma distribuição normal com média 3 e variância 0,64.

Passo 1

Estamos falando de V.A. Continuas! Portanto vamos usar integrais. :D

Lembre-se que:

P ( X = x ) = ∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x

a) A probabilidade de que em um determinad mês a demanda de arroz estar entre 2 e 4 toneladas.

Como queremos no intervalo (2,4), vamos colocar esse como o intervalo da nossa integral.

P 2 < X < 4 = ∫ 2 4 3 32 6 x - x 2 - 5   d x

P 2 < X < 4 = 3 32 3 x 2 - x 3 3 - 5 x 2 4 = 11 16 = 0,688

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Calcule a probabilidade de que, em um determinado mês, a demanda de arroz seja superior a 2 toneladas, dado que essa demanda foi inferior a 4 toneladas.

Huuum... temos uma CONDICIONAL! Como que sabemos disso? Ele tá perguntando a probabilidade de um evento A DADO um evento B. Portanto escreveremos:

P X > 2 X < 4 =   ?

Utilizando a fórmula de condicional teremos:

P X > 2 X < 4 = P X > 2 ∩ X < 4 P X < 4

Simbora fazer por etapas:

1) P X > 2 ∩ X < 4 = P 2 < X < 4 = 0,688

2) P X < 4 =

P X < 4 = ∫ 1 4 3 32 6 x - x 2 - 5   d x = 0,844

Substituindo teremos:

P X > 2 X < 4 = 0,688 0,844 = 0,815

Passo 3

c) Refaça os itens (a) e (b), supondo que a demanda mensal de arroz, em toneladas, tenha uma distribuição normal com média 3 e variância 0,64.

Se estivéssemos trabalhando com uma distribuição normal, teríamos

Z   ~   N ( 3 ; 0,64 )

Assim, fazendo a padronização, teríamos:

P 2 < Z < 4 = P 2 - 3 0,8 < Z < 4 - 3 0,8 = P - 1,25 < Z < 1,25 =

P 2 < Z < 4 = 2 × P 0 < Z < 1,25 = 2 × 0,394 = 0,79

E

P Z > 2 Z < 4 = P Z > 2 ∩ Z < 4 P Z < 4

P Z > 2 ∩ Z < 4 = P 2 < Z < 4 = 0,79

P Z < 4 = P Z < 4 - 3 0,8 = P Z < 1,25 = 0,5 + P 0 < Z < 1,25 = 0,894

Assim

P Z > 2 Z < 4 = 0,79 0,894 = 0,88 3

Resposta

a) 0,688

b) 0,815

c) 0,79 e 0,893

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