O salário semanal dos operários industriais são distribuídos normalmente em torno de uma média de R$ 180,00 com desvio padrão de R$ 25,00. Baseado nesta informação, responda as questões seguintes:

a) Encontre a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R$ 150,00 e R$ 178,00.

b) Dentro de que desvios de ambos os lados da média, cairão 96% dos salários?

c) Se selecionarmos 16 operários ao acaso e de maneira independente, qual é a probabilidade que o salário médio deles seja superior a R$ 190,00?

Passo 1

a) Bom! Vamos começar dando nomes aos bois!

Pelo enunciado, a gente consegue tirar os seguintes dados...

m é d i a →   μ = 180

d e s v i o   p a d r ã o → σ = 25

Isso aê até agora não é novidade. Apenas o que já foi dito no enunciado!

Precisamos então, calcular a variável Z reduzida e recorrer a uma tabela. Então...

Z = X - μ σ

E o que a gente tem de fazer, é encontrar a probabilidade de um operário ter salário semanal situado entre R $   150,00 e R $   178,00 . Sendo assim, bora calcular duas vezes...

Para X = 150 :

Z 1 = 150 - 180 25 = - 1,2

Para X = 178 :

Z 2 = - 2 25 = - 0,08

Passo 2

Desse modo, ficamos com...

P 150 < X < 158 = P ( - 1,20 < Z < - 0,08 )

Rearranjando...

P - 1,20 < Z < - 0,08 = P - 1,20 < Z < 0 - P - 0,08 < Z < 0

Rearranjando de novo! Podemos escrever a expressão acima como...

P - 1,20 < Z < - 0,08 = P 0 < Z < 1,20 - P 0 < Z < 0,08

Sendo assim;

P 150 < X < 158 = P 0 < Z < 1,20 - P 0 < Z < 0,08

E então, dando uma olhada na tabela abaixo...

Obtemos o seguinte resultado...

P 150 < X < 158 = 0,38493 - 0,03188

P 150 < X < 158 = 0,35305 = 35,305 %

Passo 3

b) Nesse segundo item aqui, precisamos dos desvios onde cairão 96% dos salários...

Ou seja, o que a gente quer é que aconteça o seguinte...

P X < Z = 0,96

Ou no caso, como a nossa tabela só vai até 0,500 ...

P X < Z = 0,48

Dando uma olhada na tabela, a gente tem que Z = 2,05 . Sendo assim...

X - 180 25 = 2,05

X - 180 = 51,25

X = 231,25

Como a tabela só vai até metade, e precisamos do outro extremo de Z , é só pegar o negativo Z = - 2,05 ...

X - 180 25 = - 2,05

X - 180 = - 51,25

X = 128,75

Ficamos então, com...

128,75 < X < 231,25

Passo 4

c) Hummm! Agora temos o caso de uma distribuição por média!

Como a gente viu, a média tem distribuição normal assim:

N o r m a l μ , σ 2 n

Então, nesse caso teremos que...

X - ~ N o r m a l 150 , 625 16

Calculando o que foi pedido, isto é...

P X - ≥ 190 =   ?

Padronizando...

P X - ≥ 190 = P Z ≥ 190 - 180 625 16 = P Z ≥ 190 - 180 25 4

P X - ≥ 190 = P Z ≥ 1,6

P X - ≥ 190 = 1 - P Z ≤ 1,6 = 1 - ϕ ( 1,6 )

Dando uma olhada na tabela, tomando cuidado com o fato de que ela só vai até 0,500 , ou seja, teremos que multiplicar por 2 a probabilidade em ϕ ( 1,6 ) no final das contas e dividir por dois, depois que subtrair de 1 ...

P X - ≥ 190 = 1 - 2 ⋅ 0,4452 2

P X - ≥ 190 = 0,0548 = 5,48 %

Resposta

a)

P 150 < X < 158 = 0,35305 = 35,305 %

b)

128,75 < X < 231,25

c)

P X - ≥ 190 = 0,0548 = 5,48 %

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