Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

UFRJ-P1-2013.2-3

Suponha que a altura dos homens em uma certa cidade tem distribuição Normal com média μ = 1,80 m e desvio padrão, σ = 10 c m . Calcule:

  1. A probabilidade de um homem ter mais de 1,90 m   de altura.
  2. O valor em metros abaixo do qual estão as alturas de 30% desses homens.

Passo 1

O exercício diz pra gente o que ? Que temos uma v.a. X ;

X : a l t u r a   d e   h o m e n s   d e   u m a   c i d a d e

E que essa v.a. segue uma distribuição Normal, com μ = 1,80 m e σ = 10 c m .

Lembrando que os parâmetros da Normal são μ e σ ² .

X   ~   N o r m a l   1,80 ; 10 2

Maaaas.. atenção, vamos ajeitar as unidades. Um valor tá em metros e o outro em centímetros, vou colocar tudo em centímetros.

X   ~   N o r m a l   ( 180 ; 10 2 )

Beleza?!

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Passo 2

(a)

O exercício quer que a gente calcule a probabilidade de um homem ter mais de 1,90 m   de altura, ou seja, P ( X > 190 ) , concorda ?

Aprendemos que o processo de padronização utiliza a seguinte carinha:

Z = X -   μ σ

Assim, fazendo o processo de padronização da Normal:

P X > 190 = P Z > 190 - 180 10

        = P Z > 1 , 00

Que é a mesma coisa que

                        = 1 - P Z < 1 , 00

        = 1 - Φ 1 , 00

Procurando na tabela o valor de Φ ( 1 ) , cruzando a linha 1 com a coluna 0,00, vamos ter

Φ 1 = 0,8413

Portanto,

P X > 190 = 1 - 0,8413

= 0,1587

Ou seja, a probabilidade de um homem ter mais de 1,90 m   de altura é de 15%.

Passo 3

(b)

A gente quer o valor em metros abaixo do qual estão 30% dos homens dessa cidade. Vamos chamar esse valor de k .

A gente sabe então que:

P X < k = 0,30

Usando o processo de padronização:

P Z < k - 180 10 = 0,30

Tá! Mas qual valor de Z que na tabela eu encontro probabilidade 0,30? Nenhum, porque na tabela só tem valores de probabilidade maiores que 0,5, lembra?

Só que como a Normal tem simetria, procurar um valor z que tenha probabilidade 0,30 é o mesmo que procurar um valor que tenha probabilidade 1 - 0,3 → 0,7 e trocar o sinal.

Se você olhar aí na sua tabela, o valor que dá a prob. mais próxima de 0,70 é o z = 0,52 .

Então a gente vai usar na verdade o z = - 0,52 .

Passo 4

Como:

z = k - 180 10

E z = - 0,52 , então:

- 0,52 = k - 180 10

k = 180 - 5,2

k = 174,8   c m

Como o problema pede em metros, nossa resposta final é:

k = 1,748   m

Resposta

a   0,1587

b   1,748   m

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