Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

P1 – UFRJ 2015.2 – Questão 04

Uma empresa transporta carga e o custo C(X) do transporte, em u.m., depende do peso X, em toneladas, da carga a ser transportada, conforme a tabela abaixo:

Se o peso da carga a ser transportada for uma variável aleatória X com distribuição Normal (5;0,25), determine:

a) O valor esperado do custo do transporte.

b) O desvio padrão do custo do transporte.

Passo 1

O enunciado já começa nos ajudando, dizendo qual é a distribuição que iremos trabalhar. Temos uma Normal, em que

X   ~   N ( 5 ; 0,25 )

Em que a μ x = 5 e σ 2 = 0,25

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Passo 2

a) Valor esperado do custo.

Bom, o custo varia com X, portanto teremos a seguinte equação:

E C = [ 400 × P X < 4 ] + 600 × P 4 < X < 5 + 800 × P 5 < X < 6 + [ 1500 × P X > 6 ]

Passo 3

Precisamos assim calcular as probabilidades. Como é uma normal precisamo fazer uma padronização para efetuar o cálculo:

1) P X < 4 =

P X < 4 - 5 0,5 = P Z < - 2 = P Z > 2 = 1 - P Z < 2 = 1 - 0,9772 = 0,0228

2)   P 4 < X < 5 =

P 4 - 5 0,5 < X < 5 - 5 0,5 = P - 2 < Z < 0 = P Z < 0 - P Z < - 2 = 0,4772

3) P 5 < X < 6 =

P 5 - 5 0,5 < X < 6 - 5 0,5 = P 0 < Z < 2 = P Z < 2 - P ( Z < 0 ) = 0,4772

4) P X > 6 =

P X > 6 - 5 0,5 = P Z > 2 = 1 - P ( Z < 2 ) = 0,0228

Passo 4

Substituindo teremos:

E C = 400 × 0,0228 + 600 × 0,4772 + 800 × 0,4772 + 1500 × 0,0228 = 711,40   u . m

Passo 5

b) O desvio padrão do custo do transporte.

Para calcularmos o desvio padrão agora precisamos lembrar que:

V a r C x = ∑ C x 2 × P ( X = x ) - ∑ E C 2

Portanto

V a r C x = 400 2 × 0,0228 + 600 2 × 0,4772 + 800 2 × 0,4772 + 1500 2 × 0,0228   - 711,40 2   =

V a r C x = 26058   u . m . 2

Assim,

D P C x = V a r C x = 26058 = 161,43   u . m .

Resposta

a) 711,40 u.m.

b) 161,43 u.m.

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