O tempo de vida de um componente elétrico é uma variável aleatória com distribuição uniforme entre 90 h   e   210 h , que corresponde a uma variância de 1200 h 2 Ao falhar, o componente é imediatamente substituído por outro do mesmo tipo. Dispõe-se de 48   componentes iguais e independentes. Qual a probabilidade de que se ainda tenha em operação um componente depois de um total de 7560   horas de operação?

Passo 1

Fala pessoal, Tudo beleza? Vamos para mais uma questão de probabilidade. Dessa vez uma que usa o TCL (teorema central do limite) .

Esse enunciado é bem, grande então vamos olhar ele com calma e anotar as informações importantes.

Se X i   indica o tempo de vida da i-ésima componente elétrica, então X ∼ U 90,210   . E V X i   =   1200

Temos 48   dessas componentes. Se a componente sendo utilizada quebra, ela é trocada instantaneamente por outra.

Queremos a probabilidade de ainda ter uma componente funcionando depois de 7560     horas de operação.

Passo 2

Temos bastante coisa para considerar, mas vamos aos poucos.

Primeiro vamos pensar quando que ainda temos uma componente funcionando depois de 7560     de operação. E aí, o que vocês acham?

Bem se todas as componentes falham antes de 7560     isso quer dizer que a soma de seus tempos de vida são menores que 7560     . Então para termos peças funcionando depois de 7560     a soma de seus tempos de vida tem que ser maior que 7560     . Dessa forma, o que queremos calcular é:

P ∑ i = 1 48 X i     >   7560

Passo 3

Bem, chegamos a conclusão que queremos calcular P ∑ i = 1 48 X i     >   7560 , mas como vamos fazer isso? Seria bom se tivesse uma forma de calcular a probabilidade da sima de várias variáveis aleatórias né? Opaaa, mas tem sim!! Temos o TCL.

O TCL dis o seguinte:

Sejam X 1 , … , X n variáveis aleatórias i i d   então

S n - E S n V S n 1 2   ⟶     N 0,1   quando   n   ⟶   ∞

Onde S n   =   ∑ i = 1 n X i

Ou seja, temos uma forma de aproximar a nossa probabilidade de interesse utilizando uma normal padrão. Mas para isso precisamos calcular E S n   e   V S n

Passo 4

Como foi falado no passo anterior, para usarmos o TCL, precisamos calcular E S n   e   V S n , que no nosso caso S n   =   ∑ i = 1 48 X i .

Então vamos calcular essa esperança e variância

E S n   =   E ∑ i = 1 48 X i

(pela linearidade da esperança)

  =   ∑ i = 1 48 E X i

(como X i ´s são iid)

= 48 ⋅ E X 1

Como X i ∼ U 90,210   , já é um resultado conhecido que sua esperança é o ponto médio do intervalo, ou seja,

E X i   =   90   +   210 2

=   150  

⇒   E S n   =   48 ⋅ 150

Passo 5

Agora vamos calcular a nossa variância. É muita conta, mas já estamos acabando!

Então

V S n   =   V ∑ i = 1 48 X i

(pela independência entre X i ´s )

  =   ∑ i = 1 48 V X i

(como X i ´s são iid)

= 48 ⋅ V X 1

(substituindo pelo valor dado no enunciado)

= 48 ⋅ 1200  

⇒   V S n 1 2   =   48 ⋅ 1200

=   240  

Passo 6

Agora Podemos, finalmente, calcular P ∑ i = 1 48 X i     >   7560

Já estamos na etapa final, vamos lá.

Lembrando que definimos S n   = ∑ i = 1 48 X i     Temos:

P ∑ i = 1 48 X i     >   7560   =   P S n > 7560

(subtraindo a média)

P S n     >   7560   =   P S n     - 48 ⋅ 150 >   7560   - 48 ⋅ 150

(Dividindo pelo desvio padrão)

  =   P S n     - 48 ⋅ 150 240 >   7560   - 48 ⋅ 150 240

(usando o TCL)

  =   P Z >   1.5

Onde Z ∼ N 0,1

Ao verificar uma tabela z, obtemos que

P Z >   1.5   =   0.0668

Finalmente acabamos!!!!

As questões que envolvem o TCL são grandinhas, mas quase todas são resolvidas da mesma forma que essa questão. Espero que os passos tenham ficado claros. Bons estudos e até a próxima pessoal!!!

Resposta

  0.0668  

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