Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

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Enunciado

Seja X uma Variável aleatória contínua com densidade Normal de média μ = 0 e variância σ ² > 0 .

Determine a densidade de Y = X 2 2 - 2 .

Passo 1

Vamos lembrar a cara da função de densidade da Normal:

f x = 1 2 π σ 2 . e - ( x - μ ) ² 2 σ ²

E a gente quer a função de densidade da variável:

Y = X 2 2 - 2

Vamos ter que usar o método do Jacobiano pra descobrir!

Passo 2

Mas antes, vamos facilitar nossa vida com uns detalhes:

  1. Se a média é 0, a gente pode tirar o μ dali do f ( x )
  2. f x = 1 2 π σ 2 . e - x 2 2 σ 2

  3. Vamos isolar o X na expressão de X e Y :

X = 2 Y + 4

Passo 3

Agora vamos ao Jacobiano. Essa é a fórmula dele:

g y = f x . d x d y

Vamos calcular a derivada de X em relação a Y :

d 2 Y + 4 d y = 1 2 ( 2 Y + 4 ) - 1 2 × 2 = 1 2 Y + 4

E agora colocamos a expressão de X em f ( x ) :

f x = f 2 Y + 4

= 1 2 π σ 2 . e - 2 Y + 4 2 2 σ 2

= 1 σ 2 π . e - 2 Y + 4 2 σ 2

Passo 4

Então agora basta juntarmos os dois que calculamos na fórmula do Jacobino:

g y = f x . d x d y

g ( y ) = 1 σ 2 π . e - 2 Y + 4 2 σ 2 × 1 2 Y + 4

g y = e - 2 Y + 4 2 σ 2 σ 2 π 2 Y + 4

Resposta

g y = e - 2 Y + 4 2 σ 2 σ 2 π 2 Y + 4

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