Exercícios Resolvidos de Distribuição Normal

Distribuição Normal

A vazão instantânea de um rio ( m 3 / s ) em um determinado momento do mês de março (mais úmido) pode ser modelada por uma v.a. normal com média e variância iguais a 100 . Por motivos de auditoria, exige-se uma memória de cálculo para todos os passos do projeto (explicação formal dos cálculos realizados). Assim, responda as seguintes questões:

  1. Desejamos dimensionar a potência de uma hidrelétrica a ser construída na cabeceira deste rio. Para isso, precisamos encontrar o valor crítico de vazão instantânea do mês mais úmido que não é excedido com 95 % de probabilidade. Calcules este valor.
  2. Calcule a probabilidade de um dado momento do mês de março apresentar valores entre 88 e 110 m ³ / s .
  3. Suponha que tenhamos uma amostra de 6 medições de vazões instantâneas dos meses de março. Calcule a probabilidade da média destas vazões ser superior a 110 m ³ / s .

Passo 1

(a)

X → vazões instantâneas do mês de março.

De acordo com o enunciado, a gente tem que:

X   ~   N o r m a l   100 ; 100

Primeiro o exercício quer que a gente calcule pra qual valor de X , temos 95 % das vazões abaixo.

Reescrevendo isso...

P X ≤ a = 95 %

Temos que calcular esse a aí, que é o valor de X que não é ultrapassado por 95 % dos valores possíveis.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Primeiro a gente padroniza, como sempre nas questões de Normal.

P X ≤ a = P Z ≤ a - 100 10 = 0,95

Agora vamos na tabela da Normal procurar pelo valor que nos dá 0,95 como probabilidade. Pra isso, vamos caçar o 0,95 dentro da tabela e ver o valor que gera ele.

z = 1,64

Passo 3

Agora é só igualar...

a - 100 10 = 1,64

a = 116,4   m ³ / s

Você poderia usar 1,645 também, já que o 0,95   está entre 0,9495 e 0,9505 que são os valores tabelados. Com isso:

a = 116,45   m ³ / s

Passo 4

(b)

Vamos calcular...

P 88 < X < 110 =   ?

Padronizando...

P 88 - 100 10 < Z < 110 - 100 10 = P - 1,2 < Z < 1

= P Z < 1 - P Z < - 1,2

Trocando o sinal de menos de dentro dali...

= P Z < 1 - P Z > 1,2

= P Z < 1 - 1 - P Z < 1,2

Olhando na tabela...

= 0,8413 - 1 + 0,8849

= 0,7262

Passo 5

(c)

Humm, agora vamos tratar de uma distribuição pra média x ¯ .

Como a gente viu, uma média tem distribuição Normal assim...

N o r m a l     μ   ; σ 2 n

Então nesse caso teremos:

X ¯   ~   N o r m a l   100   ; 100 6

Passo 6

Vamos calcular o que foi pedido agora...

P X ¯ ≥ 110 =   ?

Mesmo processo.. padronizamos...

P X ¯ > 110 = P Z > 110 - 100 10 6

= P Z > 2,45

= 1 - P Z < 2,45

Olhando na tabela..

= 1 - 0,9929

= 0,0071

Resposta

a   116,45   m ³ / s

b   72,62 %

c   0,71 %

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